引言

高等数学是理工科学生必修的一门基础课程，它涉及极限、导数、积分、级数等多个重要概念。同济大学出版的《高等数学》教材因其严谨的体系和丰富的例题而深受广大师生喜爱。本文将针对同济第七版《高等数学》的答案进行全解析，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。

第一章 极限与连续

1.1 极限的概念

1.1.1 极限的定义

极限是高等数学中的基础概念，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。同济第七版教材中对极限的定义如下：

设函数( f(x) )在点( x_0 )的某去心邻域内有定义，若当( x )趋于( x_0 )时，( f(x) )无限接近某一确定的常数( A )，则称常数( A )为函数( f(x) )当( x )趋于( x_0 )时的极限。

1.1.2 极限的性质

极限具有以下性质：

  1. 保号性：若( \lim_{x \to x_0} f(x) = A )，则对于任意( \epsilon > 0 )，存在( \delta > 0 )，使得当( 0 < |x - x_0| < \delta )时，( |f(x) - A| < \epsilon )。
  2. 保序性：若( \lim_{x \to x_0} f(x) = A )，且( A > 0 )，则对于任意( \epsilon > 0 )，存在( \delta > 0 )，使得当( 0 < |x - x_0| < \delta )时，( f(x) > 0 )。
  3. 夹逼定理：若( \lim_{x \to x_0} f(x) = A )，则对于任意( \epsilon > 0 )，存在( \delta > 0 )，使得当( 0 < |x - x0| < \delta )时，( g(x) \leq f(x) \leq h(x) )，且( \lim{x \to x0} g(x) = \lim{x \to x_0} h(x) = A )。

1.2 极限的计算

1.2.1 极限的四则运算法则

极限的四则运算法则如下：

  1. 加法法则：( \lim_{x \to x0} [f(x) + g(x)] = \lim{x \to x0} f(x) + \lim{x \to x_0} g(x) )。
  2. 减法法则：( \lim_{x \to x0} [f(x) - g(x)] = \lim{x \to x0} f(x) - \lim{x \to x_0} g(x) )。
  3. 乘法法则：( \lim_{x \to x0} [f(x) \cdot g(x)] = \lim{x \to x0} f(x) \cdot \lim{x \to x_0} g(x) )。
  4. 除法法则：( \lim_{x \to x0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim{x \to x0} f(x)}{\lim{x \to x_0} g(x)} )（( g(x) \neq 0 )）。

1.2.2 极限的复合法则

极限的复合法则如下：

设( \lim_{x \to x0} f(x) = A )，( \lim{y \to A} g(y) = B )，则( \lim_{x \to x_0} g(f(x)) = B )。

第二章 导数与微分

2.1 导数的概念

2.1.1 导数的定义

导数是描述函数在某一点附近变化率的概念。同济第七版教材中对导数的定义如下：

设函数( f(x) )在点( x_0 )的某去心邻域内有定义，若极限

( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} )

存在，则称此极限为函数( f(x) )在点( x_0 )的导数，记为( f’(x_0) )。

2.1.2 导数的几何意义

导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率。

2.2 导数的计算

2.2.1 基本导数公式

基本导数公式如下：

  1. ( ©’ = 0 )（( C )为常数）
  2. ( (x^n)’ = nx^{n-1} )（( n )为正整数）
  3. ( (x)’ = 1 )
  4. ( (a^x)’ = a^x \ln a )（( a > 0 )且( a \neq 1 )）
  5. ( (\sin x)’ = \cos x )
  6. ( (\cos x)’ = -\sin x )

2.2.2 高阶导数

高阶导数的计算公式如下：

  1. ( (f(g(x)))’ = f’(g(x)) \cdot g’(x) )
  2. ( (f(x) + g(x))’ = f’(x) + g’(x) )
  3. ( (f(x) - g(x))’ = f’(x) - g’(x) )
  4. ( (f(x) \cdot g(x))’ = f’(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g’(x) )
  5. ( (f(x) / g(x))’ = (f’(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g’(x)) / [g(x)]^2 )

第三章 微分与积分

3.1 微分的概念

3.1.1 微分的定义

微分是描述函数在某一点附近变化量的概念。同济第七版教材中对微分的定义如下：

设函数( f(x) )在点( x_0 )的某去心邻域内有定义，若极限

( \lim_{x \to x_0} \frac{\Delta f}{\Delta x} )

存在，则称此极限为函数( f(x) )在点( x_0 )的微分，记为( df(x_0) )。

3.1.2 微分的几何意义

微分的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率乘以自变量的增量。

3.2 积分的概念

3.2.1 积分的定义

积分是描述函数在某区间上的累积变化量的概念。同济第七版教材中对积分的定义如下：

设函数( f(x) )在区间[ a, b ]上连续，( P(x) )为[ a, b ]上的有理分式，则称

( \int_a^b f(x) P(x) dx )

为函数( f(x) )在区间[ a, b ]上的积分。

3.2.2 积分的计算

积分的计算方法如下：

  1. 不定积分：( \int f(x) dx )。
  2. 定积分：( \int_a^b f(x) dx )。

第四章 级数

4.1 级数的概念

4.1.1 级数的定义

级数是无穷多个数按照一定的规律排列而成的序列。同济第七版教材中对级数的定义如下：

设( {a_n} )为无穷数列，则

( a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_n + \ldots )

称为级数。

4.1.2 级数的收敛与发散

级数收敛的条件如下：

  1. 正项级数：若级数( \sum_{n=1}^\infty a_n )中，( an > 0 )，则当( \lim{n \to \infty} a_n = 0 )时，级数收敛。
  2. 交错级数：若级数( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} a_n )中，( an > 0 )，则当( \lim{n \to \infty} an = 0 )且( \lim{n \to \infty} a_{n+1} = a_n )时，级数收敛。

总结

本文对同济第七版《高等数学》的答案进行了全解析，涵盖了极限、导数、微分、积分和级数等多个重要概念。通过本文的解析，读者可以更好地理解和掌握这门课程，为今后的学习和研究打下坚实的基础。