线性微分方程是高等数学中的一个重要分支，它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。本文将详细解析线性微分方程的解答攻略，帮助读者更好地理解和解决这类难题。

一、线性微分方程的基本概念

1.1 定义

线性微分方程是指未知函数及其导数都是一次的微分方程。一般形式为：

[ an(x)y^{(n)} + a{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x)y’ + a_0(x)y = f(x) ]

其中，( an(x), a{n-1}(x), \ldots, a_1(x), a_0(x) ) 是已知的函数，( f(x) ) 是非齐次项，( y ) 是未知函数。

1.2 齐次线性微分方程

当 ( f(x) = 0 ) 时，线性微分方程称为齐次线性微分方程。其通解为：

[ y = C_1y_1 + C_2y_2 + \ldots + C_ny_n ]

其中，( y_1, y_2, \ldots, y_n ) 是方程的线性无关解，( C_1, C_2, \ldots, C_n ) 是任意常数。

1.3 非齐次线性微分方程

当 ( f(x) \neq 0 ) 时，线性微分方程称为非齐次线性微分方程。其通解为：

[ y = y_h + y_p ]

其中，( y_h ) 是齐次方程的通解，( y_p ) 是非齐次方程的特解。

二、线性微分方程的求解方法

2.1 求解齐次线性微分方程

求解齐次线性微分方程的方法主要有：

  • 变量分离法
  • 比较系数法
  • 线性组合法

2.1.1 变量分离法

变量分离法适用于一阶线性微分方程。具体步骤如下：

  1. 将方程写成 ( y’ = f(x)g(y) ) 的形式。
  2. 两边同时积分，得到 ( \int g(y)dy = \int f(x)dx + C )。
  3. 解出 ( y ) 的表达式。

2.1.2 比较系数法

比较系数法适用于二阶线性微分方程。具体步骤如下：

  1. 将方程写成 ( y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 ) 的形式。
  2. 设 ( y = e^{rx} )，代入方程，得到特征方程 ( r^2 + pr + q = 0 )。
  3. 求解特征方程，得到特征根 ( r_1, r_2 )。
  4. 根据特征根的情况，写出通解。

2.1.3 线性组合法

线性组合法适用于高阶线性微分方程。具体步骤如下：

  1. 将方程写成 ( y^{(n)} + p_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \ldots + p_1(x)y’ + p_0(x)y = f(x) ) 的形式。
  2. 设 ( y = y_1 + y_2 + \ldots + y_n )，代入方程。
  3. 通过比较系数，得到 ( y_1, y_2, \ldots, y_n ) 的表达式。
  4. 根据线性无关解，写出通解。

2.2 求解非齐次线性微分方程

求解非齐次线性微分方程的方法主要有：

  • 求特解法
  • 求通解法

2.2.1 求特解法

求特解法适用于非齐次线性微分方程。具体步骤如下：

  1. 设 ( y_p = e^{rx} )，代入方程，得到特征方程 ( r^2 + pr + q = 0 )。
  2. 求解特征方程，得到特征根 ( r_1, r_2 )。
  3. 根据特征根的情况，写出特解 ( y_p ) 的表达式。

2.2.2 求通解法

求通解法适用于非齐次线性微分方程。具体步骤如下：

  1. 求出齐次方程的通解 ( y_h )。
  2. 求出非齐次方程的特解 ( y_p )。
  3. 将 ( y_h ) 和 ( y_p ) 相加，得到通解 ( y = y_h + y_p )。

三、实例分析

3.1 例题一

求解微分方程 ( y” - 2y’ + y = e^x )。

解答步骤

  1. 设 ( y = e^{rx} )，代入方程，得到特征方程 ( r^2 - 2r + 1 = 0 )。
  2. 求解特征方程，得到特征根 ( r_1 = r_2 = 1 )。
  3. 由于特征根为重根，通解为 ( y_h = (C_1 + C_2x)e^x )。
  4. 设 ( y_p = Ax + B )，代入方程，得到 ( A = 1, B = 0 )。
  5. 特解为 ( y_p = x )。
  6. 通解为 ( y = (C_1 + C_2x)e^x + x )。

3.2 例题二

求解微分方程 ( y” - 3y’ + 2y = e^{2x} )。

解答步骤

  1. 设 ( y = e^{rx} )，代入方程，得到特征方程 ( r^2 - 3r + 2 = 0 )。
  2. 求解特征方程，得到特征根 ( r_1 = 1, r_2 = 2 )。
  3. 由于特征根为不同实根，通解为 ( y_h = C_1e^x + C_2e^{2x} )。
  4. 设 ( y_p = Ax^2 + Bx + C )，代入方程，得到 ( A = \frac{1}{2}, B = 0, C = -\frac{1}{2} )。
  5. 特解为 ( y_p = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} )。
  6. 通解为 ( y = C_1e^x + C_2e^{2x} + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2} )。

四、总结

线性微分方程是高等数学中的一个重要分支，掌握其求解方法对于解决实际问题具有重要意义。本文通过对线性微分方程的基本概念、求解方法以及实例分析进行详细解析，旨在帮助读者更好地理解和解决这类难题。