引言

计算机数学难题是计算机科学领域的一个重要研究方向，它不仅考验着数学理论的应用，也挑战着算法设计和优化。本文将为你提供一系列计算机数学难题的习题答案攻略，帮助你在这一领域取得突破。

1. 概率论与数理统计

1.1 题目：随机变量期望的计算

问题描述：已知随机变量 ( X ) 的概率分布为 ( P(X=k) = \frac{1}{k^2+1} )，其中 ( k ) 为 ( X ) 的取值。求 ( X ) 的期望 ( E(X) )。

解答过程：

def calculate_expectation():
    expectation = 0
    for k in range(1, 100):  # 假设 \( X \) 的取值范围为 1 到 100
        probability = 1 / (k**2 + 1)
        expectation += k * probability
    return expectation

print("随机变量 \( X \) 的期望 \( E(X) \) 为：", calculate_expectation())

1.2 题目：大数定律的应用

问题描述：抛掷一枚公平的硬币 ( n ) 次后，正面出现的次数 ( Y ) 的概率分布。

解答过程：

from math import comb

def probability_of_heads(n, k):
    return comb(n, k) * 0.5**n

# 计算 \( n = 10 \) 时，正面出现 \( k = 6 \) 次的概率
print("当 \( n = 10 \) 时，正面出现 \( k = 6 \) 次的概率为：", probability_of_heads(10, 6))

2. 线性代数

2.1 题目：求解线性方程组

问题描述：求解线性方程组 ( Ax = b )，其中 ( A ) 为 ( 3 \times 3 ) 矩阵，( b ) 为 ( 3 \times 1 ) 向量。

解答过程：

import numpy as np

A = np.array([[2, 1, -1], [1, 2, 1], [-1, 1, 2]])
b = np.array([1, 2, 3])

solution = np.linalg.solve(A, b)
print("线性方程组的解为：", solution)

2.2 题目：矩阵的特征值与特征向量

问题描述：求矩阵 ( A ) 的特征值和特征向量，其中 ( A ) 为 ( 2 \times 2 ) 矩阵。

解答过程：

import numpy as np

A = np.array([[4, 1], [2, 3]])
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

print("矩阵 \( A \) 的特征值为：", eigenvalues)
print("矩阵 \( A \) 的特征向量为：", eigenvectors)

3. 图论

3.1 题目：最短路径算法

问题描述：给定一个图和起点 ( s )，求从 ( s ) 到其他所有顶点的最短路径。

解答过程：

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    distances = {vertex: float('infinity') for vertex in graph}
    distances[start] = 0
    priority_queue = [(0, start)]
    
    while priority_queue:
        current_distance, current_vertex = heapq.heappop(priority_queue)
        
        if current_distance > distances[current_vertex]:
            continue
        
        for neighbor, weight in graph[current_vertex].items():
            distance = current_distance + weight
            
            if distance < distances[neighbor]:
                distances[neighbor] = distance
                heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
    
    return distances

# 示例图
graph = {
    'A': {'B': 1, 'C': 4},
    'B': {'A': 1, 'C': 2, 'D': 5},
    'C': {'A': 4, 'B': 2, 'D': 1},
    'D': {'B': 5, 'C': 1}
}

print("从顶点 'A' 到其他顶点的最短路径为：", dijkstra(graph, 'A'))

总结

本文针对计算机数学难题，提供了概率论、线性代数和图论等方面的习题答案攻略。通过这些例子，你可以在实际应用中更好地理解和运用这些数学知识。希望这些内容能帮助你解决实际问题，提升你的计算机数学能力。