完全平方数，即一个整数等于另一个整数的平方，如1、4、9、16等。在数学和编程领域，完全平方数是一个有趣且实用的概念。本文将深入探讨如何运用动态规划（Dynamic Programming, DP）这一强大的算法工具来破解完全平方数之谜。

1. 题目描述

给定一个整数 n，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。完全平方数是指一个整数等于另一个整数的平方，例如 1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

2. 示例

示例 1：

输入：n = 12 输出：3 解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13 输出：2 解释：13 = 4 + 9

3. 解题思路及方法

3.1 解题思路

3.1.1 确定状态

我们定义一个数组 dp，其中 dp[i] 表示和为 i 的完全平方数的最少数量。

3.1.2 转移方程

对于任意 i，它可以表示为 i = j^2 + (i - j^2)，其中 j^2 是小于等于 i 的最大完全平方数。因此，dp[i] 可以通过以下方式计算：

dp[i] = min(dp[i], dp[i - j^2] + 1)

3.1.3 初始条件和边界情况

  • dp[0] = 0，因为和为 0 的完全平方数数量为 0。
  • 对于其他情况，dp[i] 初始化为一个较大的数，例如 Integer.MAX_VALUE。

3.1.4 计算顺序

从 1 开始遍历到 n，对于每个数 i，我们尝试用完全平方数来表示它。内层循环中，我们遍历所有小于等于 i 的平方数，假设为 j^2，然后更新 dp[i]。

4. 算法代码实现

以下是用 Java 实现的动态规划算法：

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

5. 总结

动态规划是一种强大的算法工具，可以解决许多优化问题。在破解完全平方数之谜中，我们通过定义状态、转移方程和初始条件，成功地找到了和为 n 的完全平方数的最少数量。希望本文能帮助您更好地理解动态规划的应用。