七年级上册数学孟建平练习册答案解析与常见问题解答

引言

七年级上册数学是初中数学学习的起点，内容涵盖有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形初步等核心章节。孟建平练习册作为一套经典的教辅资料，以其题型丰富、难度适中、紧扣教材而受到广大师生和家长的青睐。然而，许多学生在使用过程中会遇到理解困难、解题思路不清晰或答案核对后仍不知其所以然的问题。本文旨在提供一份详尽的答案解析与常见问题解答，帮助学生不仅知道答案，更能掌握背后的数学思想和方法，从而真正提升数学能力。

第一章：有理数

1.1 有理数的概念与分类

常见问题：学生容易混淆正数、负数、整数、分数的概念，特别是对“0”的归属问题。

答案解析：

正数：大于0的数，如 +3, ¹⁄₂, 0.5。
负数：小于0的数，如 -3, -¹⁄₂, -0.5。
整数：包括正整数、0、负整数，如 -2, 0, 5。
分数：包括正分数和负分数，如 ³⁄₄, -2/5。
有理数：可以表示为两个整数之比的数（分母不为0），包括整数和分数。

关键点：0是整数，也是有理数，但不是正数也不是负数。

例题：将下列各数填入相应的集合：-3, 0, ¹⁄₂, -0.25, 5, -7/3。

正整数集合：{5}
负整数集合：{-3}
正分数集合：{¹⁄₂}
负分数集合：{-0.25, -⁷⁄₃}
有理数集合：{-3, 0, ¹⁄₂, -0.25, 5, -⁷⁄₃}

1.2 数轴与相反数

常见问题：在数轴上表示负数时方向错误；求相反数时忘记改变符号。

答案解析：

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。在数轴上，右边的数总比左边的数大。
相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。

例题：在数轴上表示出 -2, 0, 3，并比较它们的大小。

画一条水平直线，标出原点O。
从原点向左取2个单位长度，标出点A表示-2。
原点本身表示0。
从原点向右取3个单位长度，标出点B表示3。
比较：-2 < 0 < 3。

1.3 绝对值

常见问题：计算绝对值时忽略负号；比较多个数的大小时方法混乱。

答案解析：

绝对值：一个数在数轴上对应的点到原点的距离。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
比较大小：可以利用数轴，或者先化简再比较。

例题：比较 -³⁄₂, -1, ²⁄₃ 的大小。

方法一：化为小数：-1.5, -1, 0.666…，显然 -1.5 < -1 < 0.666…。
方法二：在数轴上表示，从左到右依次是 -³⁄₂, -1, 2/3。

1.4 有理数的加减法

常见问题：异号两数相加时符号判断错误；减法转化为加法时忘记变号。

答案解析：

加法法则：同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值。
减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

例题：计算 (-5) + 3 + (-2)。

步骤1：(-5) + 3 = -2 （异号，取-5的符号，5-3=2）
步骤2：-2 + (-2) = -4 （同号，取-，2+2=4）

1.5 有理数的乘除法

常见问题：多个数相乘时符号判断错误；除法转化为乘法时倒数求错。

答案解析：

乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘。
除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

例题：计算 (-2) × 3 ÷ (-¹⁄₂)。

步骤1：(-2) × 3 = -6 （异号得负）
步骤2：-6 ÷ (-¹⁄₂) = -6 × (-2) = 12 （除以-1/2等于乘以-2，同号得正）

1.6 有理数的乘方

常见问题：混淆 (-2)^2 与 -2^2；负数的奇次幂与偶次幂符号判断错误。

答案解析：

乘方：求n个相同因数a的积的运算，a^n，其中a是底数，n是指数。
注意：(-2)^2 = 4，而 -2^2 = -(2^2) = -4。

例题：计算 (-3)^3 - 2 × (-2)^2。

步骤1：(-3)^3 = -27 （负数的奇次幂为负）
步骤2：(-2)^2 = 4 （负数的偶次幂为正）
步骤3：2 × 4 = 8
步骤4：-27 - 8 = -35

1.7 科学记数法

常见问题：确定10的指数时位数数错；有效数字处理不当。

答案解析：

科学记数法：将一个数表示为 a × 10^n 的形式，其中 1 ≤ |a| < 10，n为整数。
例题：将 3,450,000 用科学记数法表示。
- 3,450,000 = 3.45 × 10^6 （因为小数点向左移动了6位）

第二章：整式的加减

2.1 单项式与多项式

常见问题：识别单项式的系数和次数；多项式的项和次数。

答案解析：

单项式：由数和字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式。系数是数字因数，次数是所有字母指数的和。
多项式：几个单项式的和。每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项，次数最高的项的次数叫多项式的次数。

例题：指出多项式 3x^2y - 5xy^2 + 7 的各项、次数和项数。

项：3x^2y, -5xy^2, 7
次数：3x^2y的次数是3（2+1），-5xy^2的次数是3（1+2），7的次数是0，所以多项式的次数是3。
项数：3项。

2.2 同类项与合并同类项

常见问题：判断同类项时忽略字母的顺序；合并时系数相加减，字母部分不变。

答案解析：

同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。
合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

例题：合并同类项：2a^2b - 3ab^2 + 5a^2b - ab^2。

步骤1：找出同类项：2a^2b 与 5a^2b 是同类项；-3ab^2 与 -ab^2 是同类项。
步骤2：合并：(2+5)a^2b + (-3-1)ab^2 = 7a^2b - 4ab^2。

2.3 整式的加减

常见问题：去括号时符号错误；合并同类项时漏项。

答案解析：

去括号法则：括号前是“+”，括号内各项不变号；括号前是“-”，括号内各项都变号。
整式加减：实质是合并同类项。

例题：化简：3(2x - y) - (x + 2y)。

步骤1：去括号：3×2x - 3×y - x - 2y = 6x - 3y - x - 2y。
步骤2：合并同类项：(6x - x) + (-3y - 2y) = 5x - 5y。

第三章：一元一次方程

3.1 方程与一元一次方程

常见问题：判断一元一次方程的条件；方程的解与解方程的区别。

答案解析：

一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程。
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值。
解方程：求方程解的过程。

例题：判断下列方程是否为一元一次方程：

2x + 3 = 5 （是）
x^2 + 2x = 1 （不是，未知数的次数是2）
1/x = 2 （不是，未知数在分母上）

3.2 等式的性质

常见问题：等式两边同时乘以或除以一个数时，忘记考虑这个数是否为0。

答案解析：

等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

例题：利用等式性质解方程：3x - 2 = 7。

步骤1：等式两边加2：3x - 2 + 2 = 7 + 2 → 3x = 9。
步骤2：等式两边除以3：3x/3 = ⁹⁄₃ → x = 3。

3.3 解一元一次方程（合并同类项与移项）

常见问题：移项时忘记变号；合并同类项时系数计算错误。

答案解析：

移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号。
合并同类项：将方程化为 ax = b 的形式。

例题：解方程：5x - 2 = 3x + 4。

步骤1：移项：5x - 3x = 4 + 2。
步骤2：合并：2x = 6。
步骤3：系数化为1：x = 3。

3.4 解一元一次方程（去括号与去分母）

常见问题：去分母时漏乘不含分母的项；去括号时符号错误。

答案解析：

去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数。
去括号：注意括号前的符号。

例题：解方程：(x - 1)/2 - (2x + 1)/3 = 1。

步骤1：去分母（最小公倍数6）：3(x - 1) - 2(2x + 1) = 6。
步骤2：去括号：3x - 3 - 4x - 2 = 6。
步骤3：合并：-x - 5 = 6。
步骤4：移项：-x = 11。
步骤5：系数化为1：x = -11。

3.5 实际问题与一元一次方程

常见问题：审题不清，找不准等量关系；设未知数不当。

答案解析：

步骤：审题→设未知数→列方程→解方程→检验→作答。
常见类型：行程问题、工程问题、利润问题、数字问题等。

例题：某商店将进价为100元的商品按标价的8折出售，仍获利20元，求标价。

设标价为x元。
等量关系：售价 - 进价 = 利润。
列方程：0.8x - 100 = 20。
解方程：0.8x = 120 → x = 150。
答：标价为150元。

第四章：几何图形初步

4.1 几何图形

常见问题：立体图形与平面图形的区分；从不同方向看立体图形。

答案解析：

立体图形：各部分不都在同一平面内，如长方体、圆柱、球。
平面图形：各部分都在同一平面内，如三角形、四边形、圆。
三视图：主视图、左视图、俯视图。

例题：画出圆柱的三视图。

主视图：矩形（高和底面直径）。
左视图：矩形（高和底面直径）。
俯视图：圆。

4.2 点、线、面、体

常见问题：点动成线、线动成面、面动成体的理解。

答案解析：

点：没有大小，只有位置。
线：点动成线，线有直线和曲线。
面：线动成面，面有平面和曲面。
体：面动成体。

例题：解释“线动成面”的例子。

例如，一条直线绕着一个点旋转一周，形成一个圆面。

4.3 直线、射线、线段

常见问题：直线、射线、线段的表示方法；比较线段的长短。

答案解析：

直线：无限延伸，没有端点，表示为直线AB或直线l。
射线：有一个端点，向一个方向无限延伸，表示为射线OA。
线段：有两个端点，有长度，表示为线段AB或线段a。
比较线段长短：可以用叠合法或度量法。

例题：如图，点C在线段AB上，AC=4cm，CB=6cm，求AB的长度。

AB = AC + CB = 4 + 6 = 10cm。

4.4 角

常见问题：角的表示方法；角的度量单位换算；角的比较与运算。

答案解析：

角的表示：用三个大写字母（如∠AOB），或一个顶点字母（如∠O），或一个数字（如∠1）。
角的度量：1° = 60′，1′ = 60″。
角的比较：可以用叠合法或度量法。
角的运算：角的加减乘除。

例题：计算：35°15′ + 24°45′。

15′ + 45′ = 60′ = 1°，所以 35° + 24° + 1° = 60°。

4.5 角的比较与运算

常见问题：角平分线的定义与应用；余角和补角的概念。

答案解析：

角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
余角：两个角的和为90°。
补角：两个角的和为180°。

例题：已知∠AOB = 60°，OC是∠AOB的角平分线，求∠AOC的度数。

因为OC是角平分线，所以∠AOC = ∠COB = ∠AOB / 2 = 30°。

第五章：常见问题综合解答

5.1 有理数运算中的易错点

问题：计算 (-2)^3 × (-3)^2 ÷ (-¹⁄₂)。

错误解法：直接计算，符号混乱。
正确解法：
1. 计算乘方：(-2)^3 = -8，(-3)^2 = 9。
2. 计算乘法：-8 × 9 = -72。
3. 计算除法：-72 ÷ (-¹⁄₂) = -72 × (-2) = 144。
关键点：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右。

5.2 整式加减中的易错点

问题：化简 2(a - b) - 3(a + b)。

错误解法：去括号时符号错误，如写成 2a - 2b - 3a + 3b。
正确解法：
1. 去括号：2a - 2b - 3a - 3b。
2. 合并：(2a - 3a) + (-2b - 3b) = -a - 5b。
关键点：括号前是“-”，括号内各项都要变号。

5.3 一元一次方程中的易错点

问题：解方程 (x - 1)/3 = 2 - (x + 1)/2。

错误解法：去分母时漏乘常数项2。
正确解法：
1. 去分母（最小公倍数6）：2(x - 1) = 12 - 3(x + 1)。
2. 去括号：2x - 2 = 12 - 3x - 3。
3. 移项：2x + 3x = 12 - 3 + 2。
4. 合并：5x = 11。
5. 系数化为1：x = 11/5。
关键点：去分母时，方程两边的每一项都要乘最小公倍数，包括常数项。

5.4 几何图形中的易错点

问题：如图，点C是线段AB的中点，AC=5cm，求AB的长度。

错误解法：直接认为AB=5cm。
正确解法：
1. 因为C是中点，所以AC=CB。
2. AC=5cm，所以CB=5cm。
3. AB = AC + CB = 5 + 5 = 10cm。
关键点：中点意味着两段相等，总长度是两段之和。

第六章：学习建议与方法

6.1 如何高效使用孟建平练习册

预习与复习结合：在学习新课前预习练习册中的基础题，课后完成巩固题。
错题本：将做错的题目整理到错题本，分析错误原因，定期复习。
举一反三：对于典型例题，尝试改变条件或数字，自己编题并解答。
合作学习：与同学讨论难题，互相讲解，加深理解。

6.2 数学思维培养

数形结合：在有理数和几何学习中，多画数轴和图形，直观理解。
分类讨论：在解决绝对值、方程等问题时，考虑不同情况。
方程思想：遇到等量关系时，尝试用方程解决。
转化思想：将复杂问题转化为简单问题，如将减法转化为加法。

6.3 时间管理

制定计划：每天安排固定时间做数学练习，保持连续性。
限时训练：模拟考试环境，提高解题速度和准确性。
劳逸结合：适当休息，避免疲劳学习。

结语

七年级上册数学是初中数学的基石，掌握好有理数、整式、方程和几何初步等内容至关重要。孟建平练习册提供了丰富的练习机会，但关键在于理解答案背后的原理和方法。通过本文的解析和常见问题解答，希望你能更清晰地掌握知识点，避免常见错误，并逐步培养数学思维。记住，数学学习没有捷径，唯有勤于思考、善于总结，才能稳步提升。祝你学习顺利！