第一章：极限与连续
1.1 极限的概念
- 定义：函数在某一点附近的值无限接近某一确定的值。
- 性质：极限存在的必要条件和充分条件。
- 例子：计算 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
1.2 无穷小与无穷大
- 定义：无穷小是趋于零的函数，无穷大是趋于无穷的函数。
- 关系：无穷小与无穷大的比较。
- 例子：比较 \(\sin x\) 和 \(x\) 的无穷小阶数。
1.3 连续的概念
- 定义：函数在某一点连续，即在该点的极限存在且等于函数值。
- 性质：连续函数的运算性质。
- 例子：判断函数 \(f(x) = x^2\) 在 \(x = 0\) 处是否连续。
第二章：导数与微分
2.1 导数的概念
- 定义：函数在某一点的导数，表示函数在该点的变化率。
- 性质：导数的几何意义和物理意义。
- 例子：计算函数 \(f(x) = x^3\) 在 \(x = 2\) 处的导数。
2.2 高阶导数
- 定义：函数的二阶导数、三阶导数等。
- 性质：高阶导数的计算方法。
- 例子：计算函数 \(f(x) = e^x\) 的二阶导数。
2.3 微分
- 定义：函数在某一点的微分，表示函数在该点的线性近似。
- 性质：微分的运算性质。
- 例子：计算函数 \(f(x) = \sin x\) 在 \(x = \frac{\pi}{2}\) 处的微分。
第三章：不定积分
3.1 不定积分的概念
- 定义：函数的不定积分，表示原函数的全体。
- 性质：不定积分的运算性质。
- 例子：计算函数 \(f(x) = x^2\) 的不定积分。
3.2 基本积分公式
- 公式：基本积分公式，如 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)。
- 例子：计算 \(\int 3x^2 dx\)。
3.3 积分方法
- 方法：换元积分法、分部积分法等。
- 例子：计算 \(\int x^3 e^x dx\)。
第四章：定积分
4.1 定积分的概念
- 定义：函数在区间上的定积分，表示函数在该区间上的总和。
- 性质：定积分的运算性质。
- 例子：计算 \(\int_0^1 x^2 dx\)。
4.2 牛顿-莱布尼茨公式
- 公式：牛顿-莱布尼茨公式，将定积分与原函数联系起来。
- 例子：计算 \(\int_0^1 (2x + 3) dx\)。
4.3 定积分的应用
- 应用：几何应用、物理应用等。
- 例子：计算圆的面积。
第五章：级数
5.1 级数的概念
- 定义：无穷级数，表示无穷多个数的和。
- 性质：级数的收敛与发散。
- 例子：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 的收敛性。
5.2 幂级数
- 定义：幂级数，表示形如 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) 的级数。
- 性质：幂级数的收敛域。
- 例子：计算幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}\) 的收敛域。
5.3 泰勒级数
- 定义：泰勒级数，表示函数在某一点的幂级数展开。
- 性质：泰勒级数的应用。
- 例子：计算函数 \(f(x) = e^x\) 的泰勒级数展开。
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