轻松掌握高数难题：精选教材习题解答解析

引言

高等数学作为大学理工科学生的基础课程，涉及了大量的抽象概念和复杂的解题技巧。对于许多学生来说，高数难题往往成为学习过程中的拦路虎。本文将针对一些精选教材中的习题，进行详细的解答解析，帮助读者轻松掌握高数难题。

已知函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求其在 $x=2$ 处的导数。

步骤一：求导数 $$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$$

步骤二：代入 $x=2$ $$f'(2) = 3 \times 2^2 - 6 \times 2 + 4 = 8$$

答案： 函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$ 在 $x=2$ 处的导数为 8。

计算不定积分 $\int \frac{x}{x^2+1} \, dx$。

步骤一：凑微分 $$\int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx$$

步骤二：换元 令 $u = x^2 + 1$，则 $du = 2x \, dx$。

步骤三：积分 $$\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C$$

步骤四：回代 $$\frac{1}{2} \ln |x^2+1| + C$$

答案： 不定积分 $\int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \ln |x^2+1| + C$。

已知矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求 $\boldsymbol{A}$ 的行列式。

步骤一：计算行列式 $$\det(\boldsymbol{A}) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$$

答案： 矩阵 $\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ 的行列式为 -2。

通过以上精选教材习题的解答解析，相信读者能够更好地理解和掌握高数难题。在学习过程中，不断练习和总结，才能在数学的道路上越走越远。