引言
丘维声的高等代数是数学专业学生和考研生必备的教材之一。本书内容丰富，涵盖了高等代数的核心知识点。为了帮助读者更好地理解和掌握这些知识点，本文将对丘维声高等代数中的核心考点进行解析，并提供相应的课堂笔记速递。
一、线性空间
1.1 线性空间的概念
线性空间是高等代数中最基本的概念之一。它是由向量及其加法和数乘运算构成的集合。线性空间中的向量满足以下性质：
- 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\)，它们的和 \(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\) 仍然属于该线性空间。
- 结合律：对于线性空间中的任意三个向量 \(\boldsymbol{a}\)、\(\boldsymbol{b}\) 和 \(\boldsymbol{c}\)，有 \((\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) + \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c})\)。
- 存在零向量：线性空间中存在一个零向量 \(\boldsymbol{0}\)，使得对于任意向量 \(\boldsymbol{a}\)，都有 \(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{a}\)。
- 存在加法逆元：对于线性空间中的任意向量 \(\boldsymbol{a}\)，存在一个向量 \(\boldsymbol{a}^{-1}\)，使得 \(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{a}^{-1} = \boldsymbol{0}\)。
- 数乘封闭性：对于线性空间中的任意向量 \(\boldsymbol{a}\) 和任意标量 \(k\)，它们的数乘 \(k\boldsymbol{a}\) 仍然属于该线性空间。
- 数乘结合律：对于线性空间中的任意向量 \(\boldsymbol{a}\) 和任意标量 \(k_1\)、\(k_2\)，有 \(k_1(k_2\boldsymbol{a}) = (k_1k_2)\boldsymbol{a}\)。
- 数乘分配律：对于线性空间中的任意向量 \(\boldsymbol{a}\) 和任意标量 \(k_1\)、\(k_2\)，有 \(k_1(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = k_1\boldsymbol{a} + k_1\boldsymbol{b}\)。
1.2 线性空间的例子
- \(\mathbb{R}^n\)：由所有 \(n\) 维实数向量构成的集合。
- \(M_{n \times n}(\mathbb{R})\)：由所有 \(n \times n\) 的实数矩阵构成的集合。
- \(P_n\)：由所有次数不超过 \(n\) 的实系数多项式构成的集合。
二、线性变换
2.1 线性变换的概念
线性变换是指从线性空间到另一个线性空间的映射，它满足以下性质：
- 线性变换保持向量加法：对于线性空间中的任意两个向量 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\)，有 \(T(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) = T(\boldsymbol{a}) + T(\boldsymbol{b})\)。
- 线性变换保持数乘：对于线性空间中的任意向量 \(\boldsymbol{a}\) 和任意标量 \(k\)，有 \(T(k\boldsymbol{a}) = kT(\boldsymbol{a})\)。
2.2 线性变换的例子
- 线性空间 \(\mathbb{R}^2\) 上的旋转变换。
- 线性空间 \(M_{2 \times 2}(\mathbb{R})\) 上的矩阵乘法变换。
三、特征值与特征向量
3.1 特征值与特征向量的概念
对于线性变换 \(T\)，如果存在一个非零向量 \(\boldsymbol{\alpha}\) 和一个标量 \(\lambda\)，使得 \(T(\boldsymbol{\alpha}) = \lambda\boldsymbol{\alpha}\)，则称 \(\lambda\) 为 \(T\) 的一个特征值，\(\boldsymbol{\alpha}\) 为对应的特征向量。
3.2 特征值与特征向量的计算
假设线性变换 \(T\) 的矩阵表示为 \(A\)，那么特征值 \(\lambda\) 满足方程 \(\det(A - \lambda I) = 0\)，其中 \(I\) 是单位矩阵。对应的特征向量可以通过解方程组 $(A - \lambda I)\boldsymbol{x}