引言
高等数学是理工科学生必修的基础课程，它涉及了微积分、线性代数、概率论与数理统计等多个分支。掌握高等数学的核心公式，对于解决数学难题至关重要。本文将详细解析全套高等数学课本中的核心公式，帮助读者轻松应对数学难题。
微积分
一、极限
核心公式： [ \lim_{x \to a} f(x) = L ]
解释： 当自变量x趋近于a时，函数f(x)的值趋近于L，则称L为函数f(x)在x=a处的极限。
应用举例： 求解函数 ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} ) 在x=1处的极限。
代码示例：
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 1)/(x - 1)
limit_value = sp.limit(f, x, 1)
print(limit_value)
二、导数
核心公式： [ f’(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} ]
解释： 导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
应用举例： 求解函数 ( f(x) = x^2 ) 在x=2处的导数。
代码示例：
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**2
derivative_value = sp.diff(f, x).subs(x, 2)
print(derivative_value)
三、积分
核心公式： [ \int f(x) \, dx = F(x) + C ]
解释： 积分表示函数在某一区间上的累积变化量。
应用举例： 求解函数 ( f(x) = x^2 ) 在区间[0, 2]上的积分。
代码示例：
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**2
integral_value = sp.integrate(f, (x, 0, 2))
print(integral_value)
线性代数
一、矩阵
核心公式： [ A = \begin{bmatrix} a{11} & a{12} & \cdots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \cdots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{m1} & a{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} ]
解释： 矩阵是由m×n个元素组成的数表。
应用举例： 求解矩阵 ( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} ) 的行列式。
代码示例：
import sympy as sp
A = sp.Matrix([[1, 2], [3, 4]])
determinant = A.det()
print(determinant)
二、向量
核心公式： [ \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix} ]
解释： 向量是由n个有序实数组成的几何对象。
应用举例： 求解向量 ( \vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix} ) 的模长。
代码示例：
import sympy as sp
v = sp.Matrix([1, 2, 3])
magnitude = v.norm()
print(magnitude)
概率论与数理统计
一、概率
核心公式： [ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} ]
解释： 事件A的概率等于事件A发生的结果数除以所有可能结果数。
应用举例： 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张红桃牌的概率。
代码示例：
import sympy as sp
n = 52
n_red_heart = 13
probability = n_red_heart / n
print(probability)
二、期望
核心公式： [ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(X = x_i) ]
解释： 随机变量X的期望值等于X取各个可能值的概率加权和。
应用举例： 求解掷一枚公平的硬币3次，求出现正面次数的期望值。
代码示例：
import sympy as sp
n = 3
p = 0.5
expectation = n * p
print(expectation)
总结
通过掌握全套高等数学课本中的核心公式，我们可以轻松应对数学难题。本文详细解析了微积分、线性代数、概率论与数理统计等领域的核心公式，并结合代码示例进行说明，希望对读者有所帮助。