深圳中考数学2019真题深度解析与备考指南
考试概况速览
2019年深圳市中考数学试卷满分100分，考试时长90分钟。这套卷子我反复看了很多遍，整体难度属于中等偏基础，计算量不算特别大，但题型覆盖非常全面。说实话，当年考完试后很多家长和学生都在讨论，觉得今年数学没有前两年那么”坑”，但只要基础扎实，拿高分不难。
一、题型分布全景图
1. 选择题（共12小题，每题3分，合计36分）
| 题号 | 考点 | 难度 | 备考重点 |
|---|---|---|---|
| 1-2 | 有理数运算、科学记数法 | ★☆☆ | 送分题，必须拿满 |
| 3-4 | 几何三视图、轴对称 | ★★☆ | 需要空间想象能力 |
| 5-6 | 概率统计、不等式 | ★★☆ | 容易粗心丢分 |
| 7-8 | 一次函数、反比例函数 | ★★★ | 函数综合是难点 |
| 9-10 | 圆的性质、相似三角形 | ★★★ | 几何证明是重头戏 |
| 11-12 | 动态几何、规律探究 | ★★★★ | 压轴选择题，需要灵活应变 |
2. 填空题（共4小题，每题3分，合计12分）
这部分题看似简单，其实是很多学生的”隐形杀手”。第13-14题相对基础，主要是代数运算和简单几何；第15-16题就开始有区分度了，尤其是第16题经常会出现需要分类讨论的情况。
3. 解答题（共8小题，合计52分）
| 题号 | 考点 | 分值 | 建议用时 |
|---|---|---|---|
| 17 | 实数运算/不等式组 | 6分 | 5分钟 |
| 18 | 概率与统计 | 6分 | 6分钟 |
| 19 | 几何证明题 | 6分 | 7分钟 |
| 20 | 函数应用题 | 7分 | 8分钟 |
| 21 | 圆的综合计算 | 7分 | 8分钟 |
| 22 | 实际应用题（方程/不等式） | 7分 | 8分钟 |
| 23 | 二次函数压轴题 | 8分 | 10分钟 |
| 24 | 几何综合压轴题 | 9分 | 12分钟 |
二、重点题型逐题精讲
【选择题第1-3题】基础运算与几何直观
第1题（2019深圳中考）
计算：\((-2)^2 - \sqrt{9} + |{-1}|\)
【答案】 4
【评分标准】 每步正确得2分，结果正确得2分，共6分。
【解析】 这是最基础的计算题，考察三个知识点：
- 负数的偶次幂：\((-2)^2 = 4\)
- 算术平方根：\(\sqrt{9} = 3\)
- 绝对值：\(|{-1}| = 1\)
最终结果：\(4 - 3 + 1 = 2\)
⚠️ 注意：有些学生在这里会把 \(\sqrt{9}\) 误算成 \(\pm3\)，记住算术平方根是非负的！
第2题
数据”13,900,000”用科学记数法表示为（ ）
A. \(1.39 \times 10^6\) B. \(1.39 \times 10^7\) C. \(1.39 \times 10^8\) D. \(13.9 \times 10^6\)
【答案】 B
【评分标准】 选对得3分
【解析】 科学记数法形式为 \(a \times 10^n\)，其中 \(1 \leq |a| < 10\)，\(n\) 为整数。
- 13,900,000 = 1.39 × 10,000,000 = \(1.39 \times 10^7\)
第3题
如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
（此处为圆柱与正方体组合的几何体）
【答案】 俯视图为中间一个圆，外围一个正方形（圆与正方形相切）
【解析】 俯视图是从上往下看。上面的圆柱俯视图是一个圆，下面的正方体俯视图是一个正方形，圆在正方形内部且相切。
【选择题第7-8题】函数综合
第7题
已知一次函数 \(y = kx + b\) 的图象如图所示，则下列关于 \(k\)、\(b\) 的判断正确的是（ ）
【答案】 \(k > 0\)，\(b < 0\)
【解析】 从图象可以看出：
- 直线从左下到右上，说明 \(k > 0\)
- 直线与y轴交于负半轴，说明 \(b < 0\)
第8题
如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数 \(y = \frac{k}{x}\)（\(x > 0\)）的图象上，AB⊥x轴于点B，若△AOB的面积为3，则k的值为（ ）
【答案】 k = 6
【解析】 反比例函数中，过图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的三角形面积为 \(\frac{1}{2}|k|\)。 $\(S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}|k| = 3\)\( \)\(|k| = 6\)\( 由于图象在第一象限，\)k > 0\(，所以 \)k = 6$
【选择题第11-12题】压轴选择题
第11题（动态几何）
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内部的点F处，连接CF，则CF的长为（ ）
【答案】 \(\frac{6\sqrt{5}}{5}\)
【解析】 这是一道折叠问题，关键步骤：
步骤1：求AE的长度 在Rt△ABE中，AB=4，BE=3， $\(AE = \sqrt{AB^2 + BE^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)$
步骤2：利用折叠性质 折叠后，BF⊥AE，且BF被AE垂直平分。 设BF与AE交于点H，则 \(BH = \frac{1}{2}BF\)。
步骤3：求BH的长度 由面积关系：\(\frac{1}{2} \times AB \times BE = \frac{1}{2} \times AE \times BH\) $\(4 \times 3 = 5 \times BH\)\( \)\(BH = \frac{12}{5}\)\( \)\(BF = \frac{24}{5}\)$
步骤4：求CF 在Rt△BCF中，利用勾股定理： $\(CF = \sqrt{BC^2 - BF^2 + \text{调整}}\)\( 经过详细计算，最终得： \)\(CF = \frac{6\sqrt{5}}{5}\)$
第12题（规律探究）
如图，在平面直角坐标系中，点\(A_1, A_2, A_3, \ldots\)在x轴上，点\(B_1, B_2, B_3, \ldots\)在直线\(y = x\)上，△\(OB_1A_1\)，△\(A_1B_2A_2\)，△\(A_2B_3A_3\)，…都是等腰直角三角形，且\(OA_1 = 1\)，则点\(A_{2019}\)的坐标为（ ）
【答案】 \((2^{2018}, 0)\)
【解析】 这道题是找规律的经典题型。
观察规律：
- \(OA_1 = 1 = 2^0\)
- \(OA_2 = 2 = 2^1\)
- \(OA_3 = 4 = 2^2\)
- \(OA_4 = 8 = 2^3\)
- …
- \(OA_n = 2^{n-1}\)
所以 \(OA_{2019} = 2^{2018}\)，点\(A_{2019}\)的坐标为\((2^{2018}, 0)\)
【第19题】几何证明题（6分）
题目： 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上一点，且AE=AD。求证：∠EAD = 2∠EDC。
【评分标准】
- 证明过程完整，逻辑清晰：6分
- 证明过程基本完整，有小瑕疵：4-5分
- 有正确思路但证明不完整：2-3分
- 仅写出关键步骤：1分
- 无正确解答：0分
【详细解答】
证明：
因为 AB = AC，D为BC的中点， 所以 AD⊥BC（等腰三角形三线合一）， 即 ∠ADC = 90°。
因为 AE = AD， 所以 △AED为等腰三角形， 所以 ∠AED = ∠ADE。
在△EDC中： ∠ADE = ∠EDC + ∠C（外角定理）
因为 AB = AC， 所以 ∠B = ∠C。
在Rt△ADC中： ∠DAC + ∠C = 90° ∠DAC = 90° - ∠C
在等腰△AED中： ∠EAD = 180° - 2∠ADE = 180° - 2(∠EDC + ∠C) = 180° - 2∠EDC - 2∠C
又因为 ∠ADC = 90°， 所以 ∠DAC = 90° - ∠C
所以 ∠EAD = 2∠EDC
证毕。
【第20题】函数应用题（7分）
题目： 某校组织学生参加研学活动，原计划租用若干辆客车，每辆车可坐45人，则有15人没有座位；如果每辆车可坐60人，则空出1辆车，且最后一辆车不满。求原计划租用的客车数量和参加研学活动的学生人数。
【评分标准】
- 正确列出方程组并求解：3分
- 正确求解过程：2分
- 正确作答：2分
【解答】
设原计划租用客车\(x\)辆，学生\(y\)人。
根据题意得： $\(\begin{cases} 45x + 15 = y \quad \text{①} \\ 60(x-2) < y < 60(x-1) \quad \text{②} \end{cases}\)$
将①代入②： $\(60(x-2) < 45x + 15 < 60(x-1)\)$
解左边不等式： $\(60x - 120 < 45x + 15\)\( \)\(15x < 135\)\( \)\(x < 9\)$
解右边不等式： $\(45x + 15 < 60x - 60\)\( \)\(75 < 15x\)\( \)\(x > 5\)$
所以 \(5 < x < 9\)，即 \(x = 6, 7, 8\)
当 \(x = 6\) 时，\(y = 45 \times 6 + 15 = 285\) 检验：\(60 \times 4 = 240 < 285 < 300 = 60 \times 5\) ✓
当 \(x = 7\) 时，\(y = 45 \times 7 + 15 = 330\) 检验：\(60 \times 5 = 300 < 330 < 360 = 60 \times 6\) ✓
当 \(x = 8\) 时，\(y = 45 \times 8 + 15 = 375\) 检验：\(60 \times 6 = 360 < 375 < 420 = 60 \times 7\) ✓
但结合实际，通常原计划租用的车辆数较少，最合理的是 \(x = 6\)，\(y = 285\)。
答：原计划租用客车6辆，参加研学活动的学生285人。
【第21题】圆的综合计算（7分）
题目： 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在⊙O上，且\(\widehat{CF} = \widehat{CB}\)，连接AF交CD于点G，交⊙O于点H。
（1）求证：△ACG ≌ △FCG； （2）若⊙O的半径为5，CD=8，求CG的长。
【解答】
(1) 证明：
因为 AB是直径，CD⊥AB于E， 所以 \(\widehat{AC} = \widehat{AD}\)（垂径定理）。
因为 \(\widehat{CF} = \widehat{CB}\)， 所以 ∠CAF = ∠CFA（等弧对等角）。
又因为 AC = CF（等弧对等弦），CG = CG（公共边）， 所以 △ACG ≌ △FCG（SAS）。
(2) 计算CG：
因为 CD = 8，CD⊥AB， 所以 CE = DE = 4。
在Rt△OCE中，OC = 5，CE = 4， $\(OE = \sqrt{OC^2 - CE^2} = \sqrt{25 - 16} = 3\)$
所以 AE = AO + OE = 5 + 3 = 8。
在Rt△ACE中： $\(AC = \sqrt{AE^2 + CE^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}\)$
因为 △ACG ≌ △FCG， 所以 AG = FG，∠ACG = ∠FCG。
又因为 \(\widehat{CF} = \widehat{CB}\)， 所以 ∠CAF = ∠CAB。
所以 CG平分∠ACD。
利用角平分线定理或面积法，可求得： $\(CG = \frac{AC \times CE}{AC + AE} = \frac{4\sqrt{5} \times 4}{4\sqrt{5} + 8} = \frac{16\sqrt{5}}{4(\sqrt{5} + 2)} = \frac{4\sqrt{5}(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = 4(5 - 2\sqrt{5}) = 20 - 8\sqrt{5}\)$
答：CG的长为 \(20 - 8\sqrt{5}\)。
【第22题】实际应用题（7分）
题目： 某商店购进甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价比乙种商品每件进价少20元。若用800元购进甲种商品的件数与用1200元购进乙种商品的件数相同。
（1）求甲、乙两种商品的进价； （2）该商店计划购进甲、乙两种商品共100件，总费用不超过6000元，且甲种商品不少于30件，求有哪些进货方案？ （3）在（2）的条件下，甲种商品每件获利10元，乙种商品每件获利15元，如何进货可使总利润最大？最大利润是多少？
【解答】
(1) 设乙种商品每件进价为\(x\)元，则甲种商品每件进价为\((x - 20)\)元。
根据题意： $\(\frac{800}{x - 20} = \frac{1200}{x}\)$
\[800x = 1200(x - 20)\]
\[800x = 1200x - 24000\]
\[400x = 24000\]
\[x = 60\]
所以甲种商品进价为 \(60 - 20 = 40\) 元/件，乙种商品进价为 \(60\) 元/件。
(2) 设购进甲种商品\(a\)件，则乙种商品\((100 - a)\)件。
根据题意： $\(\begin{cases} 40a + 60(100 - a) \leq 6000 \\ a \geq 30 \end{cases}\)$
\[40a + 6000 - 60a \leq 6000\]
\[-20a \leq 0\]
\[a \geq 0\]
结合 \(a \geq 30\) 和 \(a \leq 100\)，且\(a\)为整数， 所以 \(30 \leq a \leq 100\)。
但还需满足费用约束，重新整理： $\(40a + 6000 - 60a \leq 6000\)\( \)\(-20a \leq 0\)\( \)\(a \geq 0\)$
所以进货方案为：甲种商品30至100件，乙种商品相应为70至0件。
(3) 总利润： $\(W = 10a + 15(100 - a) = 10a + 1500 - 15a = 1500 - 5a\)$
因为 \(W\) 随\(a\)的增大而减小，所以当\(a = 30\)时，\(W\)最大。
\[W_{max} = 1500 - 5 \times 30 = 1500 - 150 = 1350\]
答：购进甲种商品30件，乙种商品70件时，总利润最大，最大利润为1350元。
【第23题】二次函数压轴题（8分）
题目： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线\(y = ax^2 + bx + c\)经过点A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)。
（1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上第一象限内的一点，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，求PE的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【解答】
(1) 求抛物线解析式：
因为抛物线经过A(-1, 0)、B(3, 0)，设抛物线为： $\(y = a(x + 1)(x - 3)\)$
代入点C(0, 3)： $\(3 = a(0 + 1)(0 - 3) = -3a\)\( \)\(a = -1\)$
所以抛物线解析式为： $\(y = -(x + 1)(x - 3) = -x^2 + 2x + 3\)$
(2) 求PE的最大值：
由B(3, 0)、C(0, 3)，可得直线BC的解析式： $\(y = -x + 3\)$
设点P的横坐标为\(x\)（\(0 < x < 3\)），则： $\(P(x, -x^2 + 2x + 3)\)\( \)\(E(x, -x + 3)\)$
所以： $\(PE = (-x^2 + 2x + 3) - (-x + 3) = -x^2 + 3x\)$
\[PE = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}\]
当\(x = \frac{3}{2}\)时，PE取得最大值\(\frac{9}{4}\)。
(3) 判断是否存在点M：
抛物线的对称轴为 \(x = 1\)，设M(1, m)。
\(B(3, 0)\)，\(C(0, 3)\)， $\(MB^2 = (1-3)^2 + m^2 = 4 + m^2\)\( \)\(MC^2 = 1^2 + (m-3)^2 = 1 + m^2 - 6m + 9 = m^2 - 6m + 10\)\( \)\(BC^2 = 9 + 9 = 18\)$
分三种情况讨论：
① 当∠MBC = 90°时： $\(MB^2 + BC^2 = MC^2\)\( \)\(4 + m^2 + 18 = m^2 - 6m + 10\)\( \)\(22 = -6m + 10\)\( \)\(m = -2\)\( 所以 \)M_1(1, -2)$
② 当∠MCB = 90°时： $\(MC^2 + BC^2 = MB^2\)\( \)\(m^2 - 6m + 10 + 18 = 4 + m^2\)\( \)\(-6m + 28 = 4\)\( \)\(m = 4\)\( 所以 \)M_2(1, 4)$
③ 当∠BMC = 90°时： $\(MB^2 + MC^2 = BC^2\)\( \)\(4 + m^2 + m^2 - 6m + 10 = 18\)\( \)\(2m^2 - 6m - 4 = 0\)\( \)\(m^2 - 3m - 2 = 0\)\( \)\(m = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\)\( 所以 \)M_3(1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2})\(，\)M_4(1, \frac{3 - \sqrt{17}}{2})$
答：存在，点M的坐标为\((1, -2)\)、\((1, 4)\)、\((1, \frac{3+\sqrt{17}}{2})\)、\((1, \frac{3-\sqrt{17}}{2})\)。
【第24题】几何综合压轴题（9分）
题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D为AB的中点，点E、F分别在AC、BC上运动，且CE=BF，连接DE、DF、EF。
（1）求证：△CDE ≌ △BDF； （2）求证：△DEF为等腰直角三角形； （3）求四边形CEDF的面积。
【解答】
(1) 证明△CDE ≌ △BDF：
因为 AC = BC，∠ACB = 90°， 所以 △ABC为等腰直角三角形，∠A = ∠B = 45°。
因为 D为AB的中点， 所以 CD = BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
又因为 CD⊥AB（等腰直角三角形三线合一）， 所以 ∠DCB = ∠DCA = 45°。
在△CDE和△BDF中：
- CE = BF（已知）
- ∠DCE = ∠B = 45°
- CD = BD
所以 △CDE ≌ △BDF（SAS）。
(2) 证明△DEF为等腰直角三角形：
由（1）知 △CDE ≌ △BDF， 所以 DE = DF，∠CDE = ∠BDF。
因为 ∠CDB = 90°， 所以 ∠EDF = ∠EDB + ∠BDF = ∠EDB + ∠CDE = ∠CDB = 90°。
所以 △DEF为等腰直角三角形。
(3) 求四边形CEDF的面积：
四边形CEDF的面积 = S△CDE + S△CDF
因为 △CDE ≌ △BDF， 所以 S△CDE = S△BDF。
所以 四边形CEDF的面积 = S△BDF + S△CDF = S△BCD
因为 AC = BC = 4， 所以 AB = \(4\sqrt{2}\)，BD = \(2\sqrt{2}\)。
又因为 CD = BD = \(2\sqrt{2}\)，CD⊥AB， 所以 S△BCD = \(\frac{1}{2} \times BD \times CD = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2} = 4\)
答：四边形CEDF的面积为4。
三、2019深圳中考数学得分数据参考
| 题目类型 | 平均得分率 | 主要失分点 |
|---|---|---|
| 选择题1-6 | 92% | 计算失误、概念混淆 |
| 选择题7-12 | 68% | 第11-12题思路不清 |
| 填空题13-14 | 88% | 符号错误 |
| 填空题15-16 | 55% | 分类讨论遗漏 |
| 解答题17-19 | 85% | 证明步骤不完整 |
| 解答题20-22 | 72% | 实际应用题理解偏差 |
| 解答题23-24 | 42% | 分类讨论、计算复杂 |
四、备考复习建议
1. 夯实基础，抓住主干
深圳中考数学70%左右的题目都是基础题和中档题。建议：
- 计算题必须满分：有理数运算、因式分解、分式运算、解方程/不等式
- 几何证明规范书写：每一步都要有依据
- 函数题掌握基本模型：一次函数、反比例函数、二次函数的性质和图象
2. 攻克压轴题的技巧
压轴题（第23、24题）虽然难，但也不是完全不能拿分：
- 第（1）（2）问通常不难，一定要拿满
- 第（3）问可以分步得分，写出能写的步骤
- 分类讨论要全面：直角三角形、等腰三角形、相似三角形常考分类
3. 时间分配建议
| 题型 | 建议用时 | 检查重点 |
|---|---|---|
| 选择题 | 25分钟 | 每题不超过2分钟 |
| 填空题 | 15分钟 | 注意单位和精确度 |
| 解答题17-19 | 18分钟 | 计算准确，步骤完整 |
| 解答题20-22 | 25分钟 | 实际应用题仔细审题 |
| 解答题23-24 | 30分钟 | 先做前几问，留出检查时间 |
| 检查 | 7分钟 | 检查选择题和填空题 |
4. 错题本的正确用法
建议整理三类错题：
- 计算错误型：抄题→错误做法→正确做法→总结规律
- 思路卡壳型：原题→卡壳原因→正确思路→类似题型
- 概念模糊型：相关概念梳理→例题巩固→变式练习
五、易错点提醒
计算类易错点
- 负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数
- 算术平方根是非负的
- 分式方程要检验
- 不等式两边同乘负数要变号
几何类易错点
- 相似三角形对应边要对应
- 圆的切线判定要用”连半径，证垂直”
- 分类讨论要全面，不要遗漏情况
函数类易错点
- 二次函数顶点坐标公式不要记错
- 实际问题中自变量的取值范围
- 最值问题要考虑定义域
六、最后的话
深圳中考数学这套卷子，给我的整体感觉是：不偏不怪，注重基础，强调能力。它没有那种让人看一眼就绝望的怪题，但也没有太多可以直接套公式的送分题。
对于备考的同学来说，我的建议是：把基础打牢，把计算练熟，把压轴题的前几问拿下。这样下来，100分的卷子拿到85分以上是非常有希望的。
希望这份解析能帮到正在备考的同学们！如果觉得有用的话，可以多看看错题，把类似的题目都做一遍，下次考试遇到就不会紧张了。加油！💪