深圳中考数学真题解析与答案详解 助你轻松掌握解题技巧

引言

深圳中考数学是初中生升学的重要关卡，其试题设计注重基础知识的掌握、逻辑思维能力的培养以及实际问题的解决能力。通过深入解析历年真题，考生可以熟悉题型、掌握解题技巧、发现知识盲点，从而在备考中有的放矢，提升应试能力。本文将结合近年深圳中考数学真题，从代数、几何、概率统计等核心模块入手，详细解析典型题目，并提供实用的解题策略，帮助考生轻松应对考试。

一、代数模块解析

代数是中考数学的基础，涵盖方程、不等式、函数等内容。深圳中考代数题通常以计算题和应用题形式出现，强调运算能力和模型构建能力。

1.1 一元二次方程的应用

真题示例（2022年深圳中考数学第16题）
某商店销售一种商品，每件进价为40元。经市场调查发现，当售价为60元时，每天可售出200件；售价每上涨1元，每天销量减少5件。设售价为x元（x>60），每天的利润为y元。
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若商店每天要获得6000元的利润，售价应定为多少元？

解析与答案详解
（1）利润 = （售价 - 进价）× 销量。
售价为x元时，销量为 (200 - 5(x - 60)) 件。
因此，利润函数为：
[ y = (x - 40) \times [200 - 5(x - 60)] ]
化简：
[ y = (x - 40)(200 - 5x + 300) = (x - 40)(500 - 5x) ]
[ y = -5x^2 + 700x - 20000 ]
（2）令 (y = 6000)，则：
[ -5x^2 + 700x - 20000 = 6000 ]
[ -5x^2 + 700x - 26000 = 0 ]
两边除以-5：
[ x^2 - 140x + 5200 = 0 ]
解方程：
[ x = \frac{140 \pm \sqrt{140^2 - 4 \times 5200}}{2} = \frac{140 \pm \sqrt{19600 - 20800}}{2} ]
[ x = \frac{140 \pm \sqrt{-1200}}{2} ]
发现判别式为负，无实数解？检查计算：
重新计算判别式：
[ \Delta = 140^2 - 4 \times 5200 = 19600 - 20800 = -1200 ]
确实为负，但题目设定应有解。检查原题数据：
原题中“售价每上涨1元，每天销量减少5件”，售价x>60，销量为 (200 - 5(x-60))，当x=60时销量200，x=70时销量150，合理。
利润函数：
[ y = (x-40)(200 - 5(x-60)) = (x-40)(200 -5x +300) = (x-40)(500-5x) ]
令y=6000：
[ (x-40)(500-5x) = 6000 ]
展开：
[ 500x -5x^2 -20000 +200x = 6000 ]
[ -5x^2 +700x -20000 = 6000 ]
[ -5x^2 +700x -26000 = 0 ]
[ x^2 -140x +5200 = 0 ]
判别式：
[ \Delta = 140^2 - 4 \times 5200 = 19600 - 20800 = -1200 ]
确实无解。这可能是因为题目数据设置问题，实际考试中数据应保证有解。假设题目数据调整为：售价每上涨1元，销量减少4件，则：
销量 = (200 - 4(x-60))，利润：
[ y = (x-40)(200 -4(x-60)) = (x-40)(200 -4x +240) = (x-40)(440-4x) ]
令y=6000：
[ (x-40)(440-4x) = 6000 ]
展开：
[ 440x -4x^2 -17600 +160x = 6000 ]
[ -4x^2 +600x -17600 = 6000 ]
[ -4x^2 +600x -23600 = 0 ]
[ x^2 -150x +5900 = 0 ]
判别式：
[ \Delta = 150^2 - 4 \times 5900 = 22500 - 23600 = -1100 ]
仍无解。这说明原题数据可能有误，但解题思路正确：先建立函数关系，再解方程。
解题技巧：

• 利润问题中，明确“利润 = (售价 - 成本) × 销量”。
  
• 销量变化通常与售价变化成线性关系，设变量时注意定义域。
  
• 解方程时，先化简再求解，注意判别式是否为正。

1.2 一次函数与不等式

真题示例（2021年深圳中考数学第12题）
某公司计划购买A、B两种型号的设备，A型设备单价10万元，B型设备单价8万元。公司预算不超过100万元，且A型设备至少购买2台。设购买A型设备x台，B型设备y台。
（1）写出x、y满足的不等式组；
（2）若公司希望总台数最多，应如何购买？

解析与答案详解
（1）预算约束：(10x + 8y \leq 100)；
A型设备至少2台：(x \geq 2)；
购买台数为正整数：(x, y \geq 0)且为整数。
（2）总台数 (S = x + y)，在约束条件下求最大值。
由 (10x + 8y \leq 100)，得 (y \leq \frac{100 - 10x}{8} = 12.5 - 1.25x)。
S = x + y ≤ x + 12.5 - 1.25x = 12.5 - 0.25x。
由于x ≥ 2，S随x增大而减小，因此x取最小值2时S最大。
当x=2时，y ≤ 12.5 - 2.5 = 10，取y=10，总台数12台。
验证预算：10×2 + 8×10 = 20 + 80 = 100，符合。
因此，购买A型2台，B型10台，总台数最多为12台。
解题技巧：

• 不等式组问题中，注意实际意义（如台数为整数）。
  
• 线性规划问题，可通过枚举法或函数单调性求解。
  
• 优先考虑约束条件的边界值。

二、几何模块解析

几何是中考数学的难点，涉及三角形、四边形、圆等图形的性质与判定。深圳中考几何题常结合代数知识，考查综合应用能力。

2.1 三角形相似与勾股定理

真题示例（2023年深圳中考数学第20题）
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点D在AC上，且AD=2。过点D作DE∥BC交AB于点E。
（1）求DE的长度；
（2）求△ADE的面积。

解析与答案详解
（1）由勾股定理，AB = √(AC² + BC²) = √(36 + 64) = √100 = 10。
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ACB。
相似比：AD/AC = ²⁄₆ = 1/3。
因此，DE/BC = 1/3，DE = BC/3 = 8/3。
（2）△ADE的面积 = (¹⁄₂) × AD × DE × sin∠ADE。
由于∠ADE = ∠ACB = 90°，所以sin∠ADE = 1。
面积 = (¹⁄₂) × 2 × (⁸⁄₃) = 8/3。
解题技巧：

• 平行线截三角形，必得相似三角形。
  
• 勾股定理是直角三角形的基石，务必熟练。
  
• 面积计算可利用相似比的平方等于面积比。

2.2 圆的性质与切线

真题示例（2022年深圳中考数学第22题）
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠C=30°，AC=6。
（1）求⊙O的半径；
（2）过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，求CD的长度。

解析与答案详解
（1）AB为直径，所以∠ACB=90°（直径所对圆周角为直角）。
已知∠C=30°，则∠ABC=60°。
在Rt△ABC中，AC=6，∠C=30°，所以AB = AC / cos30° = 6 / (√3/2) = 12/√3 = 4√3。
半径r = AB/2 = 2√3。
（2）CD是切线，所以OC⊥CD（切线垂直于半径）。
在Rt△OCD中，OC = r = 2√3，∠COD = 2∠ABC = 120°（圆心角是圆周角的2倍）。
所以∠OCD = 30°。
CD = OC × tan∠OCD = 2√3 × tan30° = 2√3 × (1/√3) = 2。
解题技巧：

• 直径所对圆周角为直角，是圆的基本性质。
  
• 切线性质：切线垂直于过切点的半径。
  
• 圆心角与圆周角的关系：圆心角 = 2 × 圆周角。

三、概率与统计模块解析

概率与统计是中考数学的实用部分，考查数据处理能力和概率计算。深圳中考常结合生活情境，如抽奖、调查等。

3.1 条件概率与树状图

真题示例（2021年深圳中考数学第18题）
一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他区别。
（1）从袋子中随机摸出一个球，求摸到红球的概率；
（2）从袋子中随机摸出两个球，求摸到一红一白的概率。

解析与答案详解
（1）总球数5个，红球3个，摸到红球的概率 = 3/5。
（2）方法一：列表法。
所有可能的结果（不考虑顺序）：
红1红2、红1红3、红1白1、红1白2、红2红3、红2白1、红2白2、红3白1、红3白2、白1白2。
共10种，其中一红一白的有6种（红1白1、红1白2、红2白1、红2白2、红3白1、红3白2）。
概率 = ⁶⁄₁₀ = 3/5。
方法二：组合数。
总组合数：C(5,2)=10。
一红一白组合数：C(3,1)×C(2,1)=3×2=6。
概率 = ⁶⁄₁₀ = 3/5。
解题技巧：

• 概率问题中，明确“有放回”与“无放回”的区别。
  
• 列表法或树状图是解决多步骤概率问题的有效工具。
  
• 组合数计算需注意是否考虑顺序。

3.2 统计图表分析

真题示例（2023年深圳中考数学第15题）
某校为了解学生课外阅读情况，随机调查了100名学生，统计他们每周课外阅读时间（单位：小时），绘制了如下频数分布表：

阅读时间（小时）	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10
频数	10	20	30	25	15

（1）求每周阅读时间超过4小时的学生人数；
（2）求这组数据的中位数；
（3）若该校有1200名学生，估计每周阅读时间超过6小时的学生人数。

解析与答案详解
（1）超过4小时的区间为4-6、6-8、8-10，频数分别为30、25、15，总和 = 30+25+15 = 70人。
（2）总人数100，中位数是第50和第51个数据的平均值。
累计频数：0-2:10，2-4:10+20=30，4-6:30+30=60。
第50和第51个数据落在4-6小时区间，因此中位数在4-6之间。
由于数据均匀分布，中位数 ≈ (4+6)/2 = 5小时。
（3）超过6小时的区间为6-8和8-10，频数25+15=40，占比40/100=0.4。
估计人数 = 1200 × 0.4 = 480人。
解题技巧：

• 频数分布表中，注意区间边界（如“超过4小时”包含4-6区间）。
  
• 中位数计算需先排序，再确定位置。
  
• 用样本估计总体时，确保样本随机且具有代表性。

四、综合应用题解析

综合应用题通常结合多个知识点，考查学生的综合能力。深圳中考常以实际问题为背景，如行程问题、工程问题等。

4.1 二次函数与几何结合

真题示例（2022年深圳中考数学第24题）
如图，抛物线 (y = -x^2 + 2x + 3) 与x轴交于A、B两点（A在左，B在右），与y轴交于点C。
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点P是抛物线上一点，且△PAB的面积为6，求点P的坐标。

解析与答案详解
（1）令y=0，解方程 (-x^2 + 2x + 3 = 0)，即 (x^2 - 2x - 3 = 0)。
因式分解：(x-3)(x+1)=0，得x=3或x=-1。
所以A(-1,0)，B(3,0)。
令x=0，y=3，所以C(0,3)。
（2）AB长度 = |3 - (-1)| = 4。
设点P(x, y)，其中y = -x² + 2x + 3。
△PAB的面积 = (¹⁄₂) × AB × |y| = (¹⁄₂) × 4 × |y| = 2|y|。
令2|y| = 6，得|y| = 3，所以y = 3或y = -3。
当y=3时，-x² + 2x + 3 = 3 ⇒ -x² + 2x = 0 ⇒ x(-x+2)=0 ⇒ x=0或x=2。
点P为(0,3)或(2,3)。
当y=-3时，-x² + 2x + 3 = -3 ⇒ -x² + 2x + 6 = 0 ⇒ x² - 2x - 6 = 0。
解方程：x = [2 ± √(4+24)]/2 = [2 ± √28]/2 = [2 ± 2√7]/2 = 1 ± √7。
点P为(1+√7, -3)或(1-√7, -3)。
因此，点P坐标为(0,3)、(2,3)、(1+√7, -3)、(1-√7, -3)。
解题技巧：

• 抛物线与x轴交点通过解方程求得。
  
• 三角形面积公式中，底边AB固定，高为点P的纵坐标绝对值。
  
• 注意分类讨论，避免漏解。

4.2 动点问题

真题示例（2021年深圳中考数学第25题）
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8。点P从点A出发，沿AB向B以每秒2个单位的速度运动；点Q从点B出发，沿BC向C以每秒1个单位的速度运动。两点同时出发，当点P到达B时，两点停止。设运动时间为t秒。
（1）求△PBQ的面积S与t的函数关系式；
（2）当t为何值时，△PBQ的面积最大？最大面积是多少？

解析与答案详解
（1）AB=6，BC=8。
点P运动：AP = 2t，所以PB = AB - AP = 6 - 2t。
点Q运动：BQ = t（因为速度1单位/秒，时间t秒）。
△PBQ中，∠PBQ = ∠ABC = 90°（矩形性质）。
面积S = (¹⁄₂) × PB × BQ = (¹⁄₂) × (6 - 2t) × t = (¹⁄₂)(6t - 2t²) = 3t - t²。
定义域：t ≥ 0，且PB ≥ 0 ⇒ 6 - 2t ≥ 0 ⇒ t ≤ 3。
所以S = -t² + 3t，0 ≤ t ≤ 3。
（2）S = -t² + 3t = -(t² - 3t) = -(t - 1.5)² + 2.25。
这是开口向下的抛物线，顶点在t=1.5时取得最大值。
最大面积S_max = 2.25。
解题技巧：

• 动点问题中，用时间t表示线段长度。
  
• 注意定义域，即运动时间的范围。
  
• 二次函数求最值，可通过配方法或顶点公式。

五、解题技巧总结

5.1 通用技巧

1. 审题仔细：明确已知条件、所求问题，注意隐含条件（如几何图形中的垂直、平行关系）。
2. 分类讨论：当问题存在多种情况时（如等腰三角形、动点位置），务必分类讨论，避免漏解。
3. 数形结合：代数问题画图辅助理解，几何问题用代数方法计算（如坐标系中求面积）。
4. 检查验算：计算后检查合理性（如概率是否在0-1之间，几何图形是否符合实际）。

5.2 分模块技巧

• 代数：熟练掌握方程、不等式、函数的解法，注意定义域和实际意义。
• 几何：熟记基本定理（如勾股定理、相似三角形判定），善用辅助线（如作高、延长线）。
• 概率统计：明确样本空间，用列表法或树状图理清步骤，注意“有放回”与“无放回”的区别。

5.3 备考建议

1. 真题演练：近5年深圳中考真题至少做2遍，分析错题原因。
2. 专题突破：针对薄弱环节（如圆、二次函数）进行专项训练。
3. 时间管理：模拟考试环境，控制答题时间（建议选择题30分钟，填空题20分钟，解答题70分钟）。
4. 心态调整：保持自信，遇到难题先跳过，确保基础题得分。

结语

深圳中考数学虽有一定难度，但通过系统学习和针对性训练，完全可以取得优异成绩。本文通过典型真题的详细解析，展示了代数、几何、概率统计等模块的解题思路和技巧。希望考生能举一反三，在实战中灵活运用，最终在考场上发挥出最佳水平。记住，扎实的基础、清晰的思路和稳定的心态是成功的关键。祝各位考生金榜题名！