数学填空题是检验学生对数学概念、公式、定理和运算能力掌握程度的重要题型。它要求学生在没有选项提示的情况下，直接写出答案，因此对知识的准确性和熟练度要求更高。本文精选了涵盖代数、几何、概率统计等多个领域的典型填空题，并提供详细的解析过程，帮助读者巩固知识、掌握解题技巧。
一、代数部分
1. 方程与不等式
题目1： 若关于 (x) 的方程 (x^2 - 2x + k = 0) 有两个相等的实数根，则 (k) 的值为 ______。
解析： 一元二次方程 (ax^2 + bx + c = 0) 有两个相等的实数根（即重根）的条件是判别式 (\Delta = b^2 - 4ac = 0)。 对于方程 (x^2 - 2x + k = 0)，我们有 (a = 1, b = -2, c = k)。 代入判别式公式： [ \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times k = 4 - 4k ] 令 (\Delta = 0)： [ 4 - 4k = 0 \implies 4k = 4 \implies k = 1 ] 答案： (1)
题目2： 不等式组 (\begin{cases} 2x - 1 > 3 \ x + 2 \leq 5 \end{cases}) 的解集是 ______。
解析： 解不等式组需要分别求出每个不等式的解集，然后取它们的交集。
- 解第一个不等式 (2x - 1 > 3)： [ 2x > 4 \implies x > 2 ]
- 解第二个不等式 (x + 2 \leq 5)： [ x \leq 3 ]
- 求交集：同时满足 (x > 2) 和 (x \leq 3) 的 (x) 的范围是 (2 < x \leq 3)。 答案： (2 < x \leq 3) 或写成区间形式 ((2, 3])
2. 函数
题目3： 已知函数 (f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}})，则函数 (f(x)) 的定义域是 ______。
解析： 函数 (f(x)) 的定义域需要满足两个条件：
- 根号下的表达式必须非负：(x - 2 \geq 0)
- 分母不能为零：(\sqrt{x-2} \neq 0)，即 (x - 2 \neq 0) 综合这两个条件，得到 (x - 2 > 0)，即 (x > 2)。 答案： ((2, +\infty)) 或 (x > 2)
题目4： 已知点 (A(1, 2)) 和 (B(3, 4))，则线段 (AB) 的中点坐标是 ______。
解析： 线段中点坐标公式：若两点坐标为 ((x_1, y_1)) 和 ((x_2, y_2))，则中点坐标为 (\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y2}{2} \right))。 代入 (A(1, 2)) 和 (B(3, 4))： [ x{\text{中点}} = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad y_{\text{中点}} = \frac{2 + 4}{2} = 3 ] 答案： ((2, 3))
二、几何部分
1. 平面几何
题目5： 在 (\triangle ABC) 中，(\angle A = 50^\circ)，(\angle B = 70^\circ)，则 (\angle C) 的度数是 ______。
解析： 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于 (180^\circ)。 [ \angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ ] 答案： (60^\circ)
题目6： 已知圆的半径为 (5)，则圆的面积是 ______（结果保留 (\pi)）。
解析： 圆的面积公式：(S = \pi r^2)，其中 (r) 是半径。 代入 (r = 5)： [ S = \pi \times 5^2 = 25\pi ] 答案： (25\pi)
2. 立体几何
题目7： 一个正方体的棱长为 (a)，则它的表面积是 ______。
解析： 正方体有 (6) 个面，每个面都是边长为 (a) 的正方形，面积为 (a^2)。 因此，总表面积 (S = 6 \times a^2 = 6a^2)。 答案： (6a^2)
题目8： 圆锥的底面半径为 (3)，高为 (4)，则它的体积是 ______（结果保留 (\pi)）。
解析： 圆锥体积公式：(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h)，其中 (r) 是底面半径，(h) 是高。 代入 (r = 3, h = 4)： [ V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 4 = \frac{1}{3} \pi \times 9 \times 4 = 12\pi ] 答案： (12\pi)
三、概率与统计
1. 概率
题目9： 一个不透明的袋子中有 (3) 个红球和 (2) 个白球，随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ______。
解析： 概率的基本定义：事件发生的概率 (P = \frac{\text{事件发生的有利结果数}}{\text{所有可能结果数}})。 袋中总球数：(3 + 2 = 5)。 摸到红球的有利结果数：(3)。 因此，摸到红球的概率 (P = \frac{3}{5})。 答案： (\frac{3}{5})
2. 统计
题目10： 数据 (2, 4, 6, 8, 10) 的平均数是 ______。
解析： 平均数公式：(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n})。 数据总和：(2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30)。 数据个数：(5)。 平均数：(\frac{30}{5} = 6)。 答案： (6)
题目11： 在一次考试中，某班 (5) 名学生的成绩分别为 (85, 90, 78, 92, 85)，则这组数据的众数是 ______。
解析： 众数是一组数据中出现次数最多的数值。 统计各数值出现次数：
- (85) 出现 (2) 次
- (90) 出现 (1) 次
- (78) 出现 (1) 次
- (92) 出现 (1) 次 因此，众数是 (85)。 答案： (85)
四、综合应用题
题目12： 某商店将进价为 (100) 元的商品按标价的 (8) 折出售，仍可获利 (20\%)，则该商品的标价是 ______ 元。
解析： 设该商品的标价为 (x) 元。 根据题意，售价为 (0.8x) 元。 利润 = 售价 - 进价 = (0.8x - 100)。 利润率 = (\frac{\text{利润}}{\text{进价}} = \frac{0.8x - 100}{100})。 根据“获利 (20\%)”，有： [ \frac{0.8x - 100}{100} = 20\% = 0.2 ] 解方程： [ 0.8x - 100 = 20 ] [ 0.8x = 120 ] [ x = \frac{120}{0.8} = 150 ] 答案： (150)
题目13： 一个两位数，十位数字比个位数字大 (2)，且这个两位数是 (3) 的倍数，则这个两位数可能是 ______（写出所有可能）。
解析： 设个位数字为 (y)，则十位数字为 (y + 2)。 这个两位数可以表示为 (10(y + 2) + y = 11y + 20)。 因为这个数是 (3) 的倍数，所以 (11y + 20) 能被 (3) 整除。 即 (11y + 20 \equiv 0 \pmod{3})。 计算模 (3)： (11 \equiv 2 \pmod{3})，(20 \equiv 2 \pmod{3})。 所以 (2y + 2 \equiv 0 \pmod{3})，即 (2(y + 1) \equiv 0 \pmod{3})。 因为 (2) 和 (3) 互质，所以 (y + 1 \equiv 0 \pmod{3})，即 (y \equiv 2 \pmod{3})。 又因为 (y) 是个位数字，所以 (y) 的取值范围是 (0) 到 (9)。 满足 (y \equiv 2 \pmod{3}) 的 (y) 值有：(2, 5, 8)。 对应的两位数：
- 当 (y = 2) 时，十位数字为 (4)，两位数为 (42)。
- 当 (y = 5) 时，十位数字为 (7)，两位数为 (75)。
- 当 (y = 8) 时，十位数字为 (10)，但十位数字不能超过 (9)，所以舍去。 因此，可能的两位数是 (42) 和 (75)。 答案： (42) 或 (75)
五、解题技巧总结
- 仔细审题：明确题目要求，注意单位、符号和条件限制。
- 公式定理：熟练掌握并准确应用相关公式和定理，如判别式、中点公式、面积体积公式、概率公式等。
- 分类讨论：对于条件不唯一或存在多种情况的问题（如题目13），要全面考虑所有可能情况。
- 计算准确：填空题直接写答案，计算过程要细心，避免因粗心导致错误。
- 检查验证：完成填空后，可以快速代入验证答案是否合理（如题目12中，标价150元，8折后120元，利润20元，利润率20%，符合题意）。
通过以上精选题目和详细解析，希望读者能更好地理解和掌握数学填空题的解题方法，提高解题的准确性和速度。