数学物理方法是一门重要的基础课程，它为物理、工程、化学等领域的研究生和高级本科生提供了必要的数学工具。第四版教材在保留了前三版的基础上，进一步丰富了内容，增加了新的习题和案例。以下是针对该教材课后习题的详解及答案。
第一章：行列式与矩阵
习题 1.1
题目：计算矩阵 (A) 的行列式，其中 (A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix})。
解答： 行列式 (|A|) 可以通过公式 (|A| = a{11}a{22} - a{12}a{21}) 计算。
[ |A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 ]
习题 1.2
题目：求解线性方程组 (Ax = b)，其中 (A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}) 且 (b = \begin{pmatrix} 5 \ 7 \end{pmatrix})。
解答： 首先，我们需要找到 (A) 的逆矩阵。由于 (A) 是一个 (2 \times 2) 的矩阵，我们可以直接计算：
[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} ]
然后，我们用 (A^{-1}) 乘以 (b)：
[ x = A^{-1}b = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \cdot 5 + 1 \cdot 7 \ \frac{3}{2} \cdot 5 - \frac{1}{2} \cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ 2 \end{pmatrix} ]
所以，方程组的解为 (x = \begin{pmatrix} -3 \ 2 \end{pmatrix})。
第二章：向量与空间解析几何
习题 2.1
题目：求向量 ( \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} ) 在 (x)，(y)，(z) 轴上的投影。
解答： 向量 ( \vec{a} ) 在 (x) 轴上的投影是 ( \vec{a} ) 的 (x) 分量，即 1。同理，在 (y) 轴上的投影是 2，在 (z) 轴上的投影是 3。
第三章：微分方程
习题 3.1
题目：解微分方程 ( \frac{dy}{dx} = y )。
解答： 这是一个一阶线性微分方程。我们可以通过分离变量法来解它：
[ \frac{1}{y} dy = dx ]
对两边积分：
[ \ln|y| = x + C ]
其中 (C) 是积分常数。解得：
[ y = e^{x + C} = Ce^x ]
其中 (C) 是任意常数。
以上仅为部分习题的详解及答案，更多习题的详细解答请参考教材或相关辅导资料。在实际学习中，建议结合具体案例进行理解和练习，以提高解题能力。