数学小题精练七下详解与答案解析

一、选择题

题目1： 已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=2$，公差$d=3$，求第10项$a_{10}$。

解答： 根据等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$d=3$，$n=10$，得： $$ a_{10}=2+(10-1)\times3=2+27=29 $$ 所以，第10项$a_{10}$为29。

题目2： 设函数$f(x)=x^2-4x+4$，求$f(2)$的值。

解答： 将$x=2$代入函数$f(x)$，得： $$ f(2)=2^2-4\times2+4=4-8+4=0 $$ 所以，$f(2)$的值为0。

题目3： 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$的极值。

解答： 首先求$f(x)$的导数$f'(x)$： $$ f'(x)=3x^2-6x+4 $$ 令$f’(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。

接下来，求$f''(x)$： $$ f''(x)=6x-6 $$ 将$x_1=1$代入$f”(x)$，得$f”(1)=0$，说明$x_1=1$是$f(x)$的拐点。

将$x_2=\frac{2}{3}$代入$f''(x)$，得$f''\left(\frac{2}{3}\right)=-2<0$，说明$x_2=\frac{2}{3}$是$f(x)$的极大值点。

将$x_2=\frac{2}{3}$代入$f(x)$，得$f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+\frac{8}{3}-1=\frac{1}{27}$。

所以，$f(x)$的极大值为$\frac{1}{27}$，无极小值。

题目4： 某商品原价为$P$元，售价为$Q$元，销售量与售价的关系为$Q=50-2P$。若销售量与售价的乘积为$R$，求$R$的最大值。

解答： 由题意知，$R=PQ=P(50-2P)=50P-2P^2$。

求$R$的最大值，即求函数$R(P)=50P-2P^2$的最大值。

求$R(P)$的导数$R'(P)$： $$ R'(P)=50-4P $$ 令$R’(P)=0$，解得$P=\frac{25}{2}$。

将$P=\frac{25}{2}$代入$R(P)$，得$R\left(\frac{25}{2}\right)=\frac{625}{4}$。

所以，$R$的最大值为$\frac{625}{4}$。