一、选择题部分
1. 题目
下列选项中，函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 的图像与 \(x\) 轴的交点个数是：
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 0个
解析
首先，我们需要找到函数 \(f(x) = x^3 - 3x\) 的零点，即解方程 \(x^3 - 3x = 0\)。这个方程可以因式分解为 \(x(x^2 - 3) = 0\)，从而得到 \(x = 0\) 或 \(x^2 - 3 = 0\)。解 \(x^2 - 3 = 0\) 得到 \(x = \sqrt{3}\) 或 \(x = -\sqrt{3}\)。因此，函数有三个零点，即与 \(x\) 轴有三个交点。
答案
C. 3个
2. 题目
已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n = 3n^2 - n\)，则数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式是：
A. \(a_n = 6n - 2\)
B. \(a_n = 6n - 5\)
C. \(a_n = 6n + 1\)
D. \(a_n = 6n - 3\)
解析
数列的前 \(n\) 项和 \(S_n = 3n^2 - n\)，则第一项 \(a_1 = S_1 = 3 \times 1^2 - 1 = 2\)。对于 \(n \geq 2\)，有 \(a_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 - n) - [3(n-1)^2 - (n-1)]\)。经过化简，可以得到 \(a_n = 6n - 5\)。
答案
B. \(a_n = 6n - 5\)
二、填空题部分
1. 题目
若 \(a + b = 5\) 且 \(ab = 6\)，则 \(a^2 + b^2\) 的值为 _______。
解析
根据恒等式 \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)，代入已知条件 \(a + b = 5\) 和 \(ab = 6\)，得到 \(a^2 + b^2 = 5^2 - 2 \times 6 = 25 - 12 = 13\)。
答案
13
2. 题目
若 \(\sin \theta = \frac{1}{2}\)，且 \(\theta\) 在第二象限，则 \(\tan \theta\) 的值为 _______。
解析
由于 \(\theta\) 在第二象限，\(\cos \theta\) 是负的。由 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)，代入 \(\sin \theta = \frac{1}{2}\)，得到 \(\cos^2 \theta = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}\)，因此 \(\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)。所以 \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
答案
\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
三、解答题部分
1. 题目
已知函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)，求函数的定义域和极限 \(\lim_{x \to 2} f(x)\)。
解析
函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) 的定义域是所有使分母不为零的 \(x\) 值，即 \(x \neq 2\)。当 \(x\) 趋近于 2 时，分子和分母同时趋近于 0，形成“\(\frac{0}{0}\)”型未定式。通过因式分解分子，得到 \(f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\)，在 \(x \neq 2\) 的情况下，可以约去分子和分母中的 \((x - 2)\)，从而得到 \(f(x) = x + 2\)。因此，\(\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4\)。
答案
定义域：\(x \neq 2\)；极限：4
2. 题目
已知数列 \(\{a_n\}\) 是等比数列，且 \(a_1 = 2\)，\(a_4 = 16\)，求该数列的公比和前 10 项和。
解析
在等比数列中，\(a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\)，其中 \(r\) 是公比。由 \(a_1 = 2\) 和 \(a_4 = 16\)，可以得出 \(16 = 2 \cdot r^3\)，从而 \(r^3 = 8\)，解得 \(r = 2\)。前 10 项和 \(S_{10} = \frac{a_1(1 - r^{10})}{1 - r} = \frac{2(1 - 2^{10})}{1 - 2} = 2^{11} - 2 = 2046\)。
答案
公比：2；前 10 项和：2046