题目
（以下为假设的数学一卷11题内容，具体题目请以实际试卷为准）
设函数 ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 )，求 ( f(x) ) 在区间 ([0, 3]) 上的最大值和最小值。
解题思路
- 求导数：首先对函数 ( f(x) ) 求导，得到 ( f’(x) )。
- 求驻点：令 ( f’(x) = 0 )，解出驻点。
- 求端点值：计算 ( f(x) ) 在区间端点 ( x = 0 ) 和 ( x = 3 ) 的值。
- 比较大小：比较驻点和端点处的函数值，确定最大值和最小值。
解题步骤
步骤一：求导数
对 ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 ) 求导，得到： [ f’(x) = 3x^2 - 12x + 9 ]
步骤二：求驻点
令 ( f’(x) = 0 )，解方程： [ 3x^2 - 12x + 9 = 0 ] [ x^2 - 4x + 3 = 0 ] [ (x - 1)(x - 3) = 0 ] 解得 ( x = 1 ) 和 ( x = 3 )。
步骤三：求端点值
计算 ( f(x) ) 在 ( x = 0 ) 和 ( x = 3 ) 处的值： [ f(0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 + 1 = 1 ] [ f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 ]
步骤四：比较大小
比较驻点和端点处的函数值：
- 驻点 ( x = 1 ) 处的函数值为 ( f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 + 1 = 5 )。
- 端点 ( x = 0 ) 和 ( x = 3 ) 处的函数值均为 ( 1 )。
因此，函数 ( f(x) ) 在区间 ([0, 3]) 上的最大值为 ( 5 )，最小值为 ( 1 )。
标准答案
最大值：( 5 )
最小值：( 1 )
总结
本题考查了函数的极值问题，通过求导数、求驻点、求端点值和比较大小等步骤，可以找到函数在指定区间上的最大值和最小值。这类题目在数学竞赛和高考中较为常见，需要考生熟练掌握相关知识点。