幂级数是高等数学中一个非常重要的章节，也是四川专升本数学考试的重点和难点。它不仅是连接函数与级数的桥梁，更是解决许多复杂问题（如微分方程求解、函数展开等）的有力工具。本文将系统梳理幂级数的核心考点，并结合历年真题和常见错误，为你提供一份详尽的避坑指南。

一、 幂级数的基础概念与收敛域

1.1 幂级数的定义

形如 (\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n) 的级数称为在点 (x0) 处的幂级数。在专升本考试中，绝大多数题目考察的是中心在原点的幂级数 (\sum{n=0}^{\infty} a_n x^n)。

核心考点：理解幂级数的收敛性与普通级数收敛性的区别。幂级数的收敛性依赖于 (x) 的取值，存在一个收敛半径 (R)，使得：

  • 当 (|x| < R) 时，级数绝对收敛；
  • 当 (|x| > R) 时，级数发散；
  • 当 (|x| = R) 时，收敛性需单独判断。

1.2 收敛半径与收敛域的求解

这是考试的必考题型。求解步骤通常如下：

步骤一：求收敛半径 (R) 常用方法有比值法和根值法。

  • 比值法（推荐）：若 (\lim{n \to \infty} \left| \frac{a{n+1}}{a_n} \right| = \rho)，则 (R = \frac{1}{\rho})（当 (\rho \neq 0) 时）。
  • 根值法：若 (\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho)，则 (R = \frac{1}{\rho})。

步骤二：判断端点收敛性 将 (x = R) 和 (x = -R) 代入原级数，得到两个常数项级数，用比较审敛法、比值审敛法等判断其敛散性。

步骤三：写出收敛域 综合收敛半径和端点情况，写出区间（开区间、闭区间或半开半闭区间）。

【完整示例】 求幂级数 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n^2}) 的收敛域。

解：

  1. 求收敛半径：令 (an = \frac{2^n}{n^2})。 使用比值法： [ \rho = \lim{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{an} \right| = \lim{n \to \infty} \frac{2^{n+1}/(n+1)^2}{2^n/n^2} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 = 2 ] 所以，收敛半径 (R = \frac{1}{\rho} = \frac{1}{2})。

  2. 判断端点：

    • 当 (x = \frac{1}{2}) 时，级数为 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2})，这是 (p=2>1) 的 (p)-级数，收敛。
    • 当 (x = -\frac{1}{2}) 时，级数为 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2})，这是交错级数，且 (\frac{1}{n^2}) 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知收敛。

  3. 结论：收敛域为 ([-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}])。

【易错点避坑】

  • 易错点1：忽略端点判断。很多同学求出收敛半径后直接写收敛域为 ((-R, R))，这是不完整的，必须单独讨论端点。
  • 易错点2：比值法极限求错。在计算 (\lim{n \to \infty} \left| \frac{a{n+1}}{a_n} \right|) 时，务必仔细化简，特别是涉及 (n) 的多项式部分。
  • 易错点3：收敛半径公式误用。当极限为0时，(R = +\infty)；当极限为 (+\infty) 时，(R = 0)。要熟记这些特殊情况。

二、 幂级数的和函数

求幂级数的和函数是幂级数章节的难点，也是综合能力的体现。核心思想是利用已知级数的和函数，通过代数运算（加、减、乘、除）和微积分运算（逐项求导、逐项积分）来求解。

2.1 常用基本级数的和函数

必须熟记以下三个“母级数”：

  1. (\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x})，收敛域：((-1, 1))
  2. (\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{1+x})，收敛域：((-1, 1))
  3. (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x)，收敛域：((-\infty, +\infty))

2.2 求解方法与步骤

步骤一：确定收敛域 首先必须求出所给幂级数的收敛域，因为和函数的定义域就是收敛域。

步骤二：通过运算化为已知级数

  • 逐项求导：适用于系数含有 (n) 的多项式或阶乘的级数。
  • 逐项积分：适用于系数含有 (\frac{1}{n}) 或 (\frac{1}{n+1}) 的级数。
  • 代数变形：如提取公因子、拆项等。

步骤三：求出和函数并注明收敛域 对化简后的级数进行求和，最后必须将收敛域写在和函数后面。

【完整示例】 求幂级数 (\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}) 的和函数。

解：

  1. 求收敛域： (\lim{n \to \infty} \left| \frac{a{n+1}}{an} \right| = \lim{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1)，所以 (R=1)。 端点 (x=1) 时，级数为调和级数 (\sum \frac{1}{n})，发散。 端点 (x=-1) 时，级数为交错调和级数 (\sum \frac{(-1)^n}{n})，收敛。 所以收敛域为 ([-1, 1))。

  2. 求和函数： 设 (S(x) = \sum{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n})，(x \in [-1, 1))。 观察发现，对 (S(x)) 逐项求导： [ S’(x) = \left( \sum{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} \right)’ = \sum{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \sum{n=0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1-x} ] 这里利用了已知级数 (\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x})。

  3. 积分还原： 对 (S’(x) = \frac{1}{1-x}) 从0到 (x) 积分： [ S(x) - S(0) = \int{0}^{x} \frac{1}{1-t} dt = -\ln(1-t) \Big|{0}^{x} = -\ln(1-x) ] 因为 (S(0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{0^n}{n} = 0)，所以： [ S(x) = -\ln(1-x) ]

  4. 结论： 和函数为 (S(x) = -\ln(1-x))，收敛域为 ([-1, 1))。

【易错点避坑】

  • 易错点1：忽略收敛域的变化。逐项求导或积分后，收敛域可能扩大（通常端点处的收敛性可能改变），但本例中端点 (x=-1) 处求导后发散，积分后收敛，这是正常的。最终和函数的收敛域应取原级数的收敛域。
  • 易错点2：积分常数处理错误。在积分还原时，常取 (x=0) 代入，因为 (S(0)) 通常容易计算（为0）。如果 (S(0)) 不为0，必须正确计算。
  • 易错点3：混淆逐项求导与逐项积分的条件。幂级数在其收敛区间内可以逐项求导和逐项积分，且收敛半径不变。但端点处的收敛性可能改变，需要重新判断。

三、 函数展开为幂级数（泰勒级数）

将函数展开为幂级数是幂级数的逆过程，也是考试的高频考点。主要方法有直接展开法和间接展开法。

3.1 直接展开法（泰勒公式法）

利用泰勒公式 (f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n)，计算各阶导数在 (x_0) 处的值。此方法计算量大，易出错，不推荐在考试中使用。

3.2 间接展开法（推荐）

利用已知级数（如 (e^x, \sin x, \cos x, \ln(1+x), \frac{1}{1-x}) 等）的展开式，通过代数运算、微积分运算（变量代换、逐项求导、逐项积分）来得到目标函数的展开式。

【完整示例】 将函数 (f(x) = \frac{x}{1+x^2}) 展开为 (x) 的幂级数，并指出收敛域。

解：

  1. 选择已知级数： 我们知道 (\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n)，收敛域 (|u|)。

  2. 变量代换： 令 (u = -x^2)，则： [ \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{1-(-x^2)} = \sum{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} ] 此时收敛域为 (|-x^2| < 1)，即 (|x| < 1)。

  3. 乘以 (x)： [ f(x) = \frac{x}{1+x^2} = x \cdot \sum{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} = \sum{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n+1} ] 收敛域不变，仍为 (|x| < 1)。

  4. 检查端点： 当 (x=1) 时，级数为 (\sum{n=0}^{\infty} (-1)^n)，发散。 当 (x=-1) 时，级数为 (\sum{n=0}^{\infty} (-1)^n (-1)^{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1})，发散。 所以收敛域为 ((-1, 1))。

【易错点避坑】

  • 易错点1：展开中心错误。题目要求展开为 (x) 的幂级数，即中心在0。如果要求展开为 ((x-1)) 的幂级数，则需进行变量代换 (t = x-1)。
  • 易错点2：收敛域判断错误。在进行变量代换或运算后，收敛域可能改变，必须重新根据最终级数的形式判断收敛域。
  • 易错点3：漏掉常数项。在利用 (\frac{1}{1-x}) 展开时，注意 (n) 从0开始，常数项为1。在乘以 (x) 后，常数项变为0，这是正确的。

四、 幂级数的应用

幂级数在近似计算、求解微分方程等方面有重要应用，专升本考试中可能以小题或综合题形式出现。

4.1 近似计算

利用幂级数的部分和来近似计算函数值或定积分。关键在于选择收敛快的级数，并估计误差。

【示例】 利用 (\ln(1+x)) 的展开式计算 (\ln 2) 的近似值，要求误差小于 (0.001)。

解： (\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots)，收敛域 ([-1, 1))。 令 (x=1)，得 (\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots)。 这是一个交错级数，其误差小于被舍弃的第一项的绝对值。 要误差小于 (0.001)，需 (\frac{1}{n+1} < 0.001)，解得 (n+1 > 1000)，即 (n > 999)。 取前1000项求和即可，但计算量太大。实际上，交错级数收敛较慢，此例主要说明方法，实际计算中会选用收敛更快的级数。

4.2 求解微分方程

对于某些微分方程，可以假设解为幂级数形式，代入方程后比较系数求解。

【示例】 求微分方程 (y’ - y = 0) 满足 (y(0)=1) 的幂级数解。

解： 设解为 (y = \sum_{n=0}^{\infty} an x^n)，则 (y’ = \sum{n=1}^{\infty} n an x^{n-1} = \sum{n=0}^{\infty} (n+1) a{n+1} x^n)。 代入方程： [ \sum{n=0}^{\infty} (n+1) a{n+1} x^n - \sum{n=0}^{\infty} an x^n = 0 ] 比较系数： [ (n+1) a{n+1} - an = 0 \quad \Rightarrow \quad a{n+1} = \frac{a_n}{n+1} ] 由 (y(0)=1) 得 (a_0 = 1)。 递推得：(a_1 = \frac{a_0}{1} = 1)，(a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2})，(a_3 = \frac{a_2}{3} = \frac{1}{6})，…，(an = \frac{1}{n!})。 所以 (y = \sum{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x)。

【易错点避坑】

  • 易错点1：级数形式设定错误。在求解微分方程时，注意 (y’) 的级数下标从 (n=1) 开始，合并时要统一到 (n=0)。
  • 易错点2：忽略初始条件。初始条件用于确定常数 (a_0)，是求解的关键。
  • 易错点3：递推关系求错。比较系数时，务必仔细计算 (x^n) 的系数，避免代数错误。

五、 总结与备考建议

幂级数章节内容环环相扣，从收敛域到和函数，再到函数展开，最后是应用。备考时建议：

  1. 熟记基本公式：务必背熟几个常用函数的展开式和收敛域，这是间接展开法的基础。
  2. 掌握核心方法：收敛域的求解、和函数的求解（逐项求导/积分）、函数的间接展开，这三类题型是考试的绝对重点。
  3. 注重细节：收敛域的端点判断、积分常数的处理、展开中心的确定，这些细节往往是失分点。
  4. 勤加练习：多做历年真题和模拟题，总结自己的易错点，形成条件反射。

幂级数虽然有一定难度，但只要理清思路，掌握方法，勤于练习，就一定能攻克这个堡垒，在专升本数学考试中取得优异成绩。祝你备考顺利！