在高等数学的学习中，同济大学的高等数学教材因其系统性和实用性而深受广大师生喜爱。第七版上册作为经典教材，内容丰富，习题难度适中，既适合本科生的基础学习，也适用于考研等更高层次的需求。以下是针对该教材上册习题的全面解析。
第一章 函数、极限与连续
1.1 函数
题目解析
函数的概念和性质是高等数学的基础。本章习题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性等。
示例
题目：判断函数\(f(x) = \frac{\sin x}{x}\)的奇偶性。
解答：首先确定定义域为\(x \neq 0\)，接着观察\(f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = f(x)\)，所以\(f(x)\)是偶函数。
1.2 极限
题目解析
极限的计算是高等数学中的重要内容，涉及极限的运算法则和无穷小、无穷大的概念。
示例
题目：求\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：使用洛必达法则或者直接使用泰勒公式展开，\(\sin x \approx x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\)，代入原极限表达式得\(\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{x^3}{6}}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{x^2}{6}\right) = 1\)。
1.3 连续
题目解析
连续是函数的一个基本性质，本章习题主要考察连续性的判定。
示例
题目：证明函数\(f(x) = |x|\)在\(x = 0\)处连续。
解答：需要证明\(\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)\)。由定义有\(\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)\)，所以函数在\(x = 0\)处连续。
第二章 导数与微分
2.1 导数的基本概念
题目解析
导数是高等数学的核心概念之一，本章习题主要考察导数的定义、计算和几何意义。
示例
题目：求函数\(f(x) = x^2\)在\(x = 2\)处的导数。
解答：使用导数的定义\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)，代入\(x = 2\)得\(f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2 - 2^2}{h} = 4\)。
2.2 导数的运算
题目解析
导数的四则运算、复合函数求导法则等是本章的重点。
示例
题目：求\(f(x) = e^{x^2} \sin x\)的导数。
解答：使用乘积法则和链式法则，得\(f'(x) = (e^{x^2})' \sin x + e^{x^2} (\sin x)' = 2xe^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x\)。
第三章 高阶导数与隐函数求导
3.1 高阶导数
题目解析
高阶导数的概念和计算方法，本章习题主要考查二阶、三阶及更高阶导数的求法。
示例
题目：求函数\(f(x) = x^3 + 5x^2 - 7\)的四阶导数。
解答：通过连续求导，\(f''(x) = 6x + 10, f'''(x) = 6, f''''(x) = 0\)，所以四阶导数为0。
3.2 隐函数求导
题目解析
隐函数求导是高等数学中的另一重要技巧，本章习题主要考查隐函数和参数方程求导。
示例
题目：求隐函数\(xy = e^x + e^y\)关于\(x\)的导数。
解答：使用隐函数求导法，得\(y + xy' = e^x + e^y y'\)，整理得\(y'(1 + xy) = e^x - y\)，因此\(y' = \frac{e^x - y}{1 + xy}\)。
以上内容仅为同济大学高等数学第七版上册习题解析的一部分。每个章节都有详细的解题思路和示例，旨在帮助学生深入理解高等数学的概念和计算方法。在学习和复习的过程中，建议结合教材内容，逐步提升自己的数学思维能力。