同济大学的高等数学教材在我国高等教育中具有很高的声誉，其第五版教材更是深受广大师生喜爱。为了帮助同学们更好地理解和掌握教材内容，以下是对同济大学高数第五版习题的详解与实战技巧解析。
第一章 函数、极限与连续
1.1 函数
习题详解
例题1： 求函数\(f(x)=x^3-3x+2\)的导数。
解答： 根据导数的定义，有 $\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-3(x+h)+2-(x^3-3x+2)}{h} \)\( 化简得 \)\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h+3xh^2+h^3-3h}{h} = \lim_{h \to 0} (3x^2+3xh+h^2-3) = 3x^2-3 \)$
实战技巧
- 熟练掌握导数的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求导过程中出现跳跃。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
1.2 极限
习题详解
例题2： 求极限\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答： 根据极限的定义，有 $\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)\( 由洛必达法则，得 \)\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1 \)$
实战技巧
- 熟练掌握极限的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求极限过程中出现跳跃。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
1.3 连续
习题详解
例题3： 判断函数\(f(x)=\begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}\)的连续性。
解答： 对于\(x \geq 0\)，有\(f(x)=x^2\)，对于\(x < 0\)，有\(f(x)=-x^2\)。因此，\(f(x)\)在\(x=0\)处连续。
实战技巧
- 熟练掌握连续的定义和性质。
- 注意函数的间断点，避免在求连续性过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
第二章 导数与微分
2.1 导数
习题详解
例题4： 求函数\(f(x)=e^x\)的导数。
解答： 根据导数的定义，有 $\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h} \)\( 由泰勒展开，得 \)\( e^h-1 \approx h \quad (h \to 0) \)\( 因此， \)\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h-1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^xh}{h} = e^x \)$
实战技巧
- 熟练掌握导数的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求导过程中出现跳跃。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
2.2 微分
习题详解
例题5： 求函数\(f(x)=x^3\)在\(x=2\)处的微分。
解答： 根据微分的定义，有 $\( df(x) = f'(x)dx = (3x^2)dx \)\( 因此，\)f(x)=x^3\(在\)x=2\(处的微分为 \)\( df(2) = (3 \times 2^2)dx = 12dx \)$
实战技巧
- 熟练掌握微分的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求微分过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
第三章 导数的应用
3.1 函数的单调性
习题详解
例题6： 判断函数\(f(x)=x^3-3x+2\)的单调性。
解答： 求导得\(f'(x)=3x^2-3\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)。当\(x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。
实战技巧
- 熟练掌握导数的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求单调性过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
3.2 函数的极值
习题详解
例题7： 求函数\(f(x)=x^3-3x+2\)的极值。
解答： 求导得\(f'(x)=3x^2-3\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)。当\(x<1\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。因此，\(x=1\)是函数的极小值点，\(f(1)=-2\)。
实战技巧
- 熟练掌握导数的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求极值过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
3.3 函数的最大值与最小值
习题详解
例题8： 求函数\(f(x)=x^2-4x+3\)在区间\([1,3]\)上的最大值和最小值。
解答： 求导得\(f'(x)=2x-4\)。令\(f'(x)=0\)，解得\(x=2\)。当\(x<2\)时，\(f'(x)<0\)，函数单调递减；当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，函数单调递增。因此，\(x=2\)是函数的极小值点，\(f(2)=-1\)。又因为\(f(1)=0\)，\(f(3)=0\)，所以函数在区间\([1,3]\)上的最大值为\(0\)，最小值为\(-1\)。
实战技巧
- 熟练掌握导数的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求最大值和最小值过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
第四章 不定积分
4.1 不定积分的概念
习题详解
例题9： 求不定积分\(\int x^2dx\)。
解答： 根据不定积分的定义，有 $\( \int x^2dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{n} \Delta x \)\( 其中，\)x_i = i\Delta x\(，\)\Delta x = \frac{b-a}{n}\(，\)a\(和\)b$为积分区间。
当\(n \to \infty\)时，\(\Delta x \to 0\)，\(\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{n} \Delta x\)转化为定积分\(\int_0^1 x^2dx\)。
根据定积分的定义，有 $\( \int_0^1 x^2dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{n} \Delta x = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2 \frac{b-a}{n} = \frac{1}{3} \)$
因此，\(\int x^2dx = \frac{1}{3}x^3 + C\)，其中\(C\)为任意常数。
实战技巧
- 熟练掌握不定积分的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求不定积分过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
4.2 不定积分的计算
习题详解
例题10： 求不定积分\(\int (2x+3)dx\)。
解答： 根据不定积分的定义，有 $\( \int (2x+3)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{(2x_i+3)}{n} \Delta x \)\( 其中，\)x_i = i\Delta x\(，\)\Delta x = \frac{b-a}{n}\(，\)a\(和\)b$为积分区间。
当\(n \to \infty\)时，\(\Delta x \to 0\)，\(\sum_{i=1}^n \frac{(2x_i+3)}{n} \Delta x\)转化为定积分\(\int_a^b (2x+3)dx\)。
根据定积分的定义，有 $\( \int_a^b (2x+3)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{(2x_i+3)}{n} \Delta x = \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n \left(2\frac{i}{n}+3\right) = \frac{b^2+3b-a^2-3a}{2} \)$
因此，\(\int (2x+3)dx = \frac{b^2+3b-a^2-3a}{2} + C\)，其中\(C\)为任意常数。
实战技巧
- 熟练掌握不定积分的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求不定积分过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
第五章 定积分
5.1 定积分的概念
习题详解
例题11： 求定积分\(\int_0^1 x^2dx\)。
解答： 根据定积分的定义，有 $\( \int_0^1 x^2dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{n} \Delta x \)\( 其中，\)x_i = i\Delta x\(，\)\Delta x = \frac{1-0}{n}\(，\)n$为分割数。
当\(n \to \infty\)时，\(\Delta x \to 0\)，\(\sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{n} \Delta x\)转化为定积分\(\int_0^1 x^2dx\)。
根据定积分的定义，有 $\( \int_0^1 x^2dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{x_i^2}{n} \Delta x = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2 \frac{1}{n} = \frac{1}{3} \)$
因此，\(\int_0^1 x^2dx = \frac{1}{3}\)。
实战技巧
- 熟练掌握定积分的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求定积分过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
5.2 定积分的计算
习题详解
例题12： 求定积分\(\int_0^1 (2x+3)dx\)。
解答： 根据定积分的定义，有 $\( \int_0^1 (2x+3)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{(2x_i+3)}{n} \Delta x \)\( 其中，\)x_i = i\Delta x\(，\)\Delta x = \frac{1-0}{n}\(，\)n$为分割数。
当\(n \to \infty\)时，\(\Delta x \to 0\)，\(\sum_{i=1}^n \frac{(2x_i+3)}{n} \Delta x\)转化为定积分\(\int_0^1 (2x+3)dx\)。
根据定积分的定义，有 $\( \int_0^1 (2x+3)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{(2x_i+3)}{n} \Delta x = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(2\frac{i}{n}+3\right) = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} \)$
因此，\(\int_0^1 (2x+3)dx = \frac{7}{2}\)。
实战技巧
- 熟练掌握定积分的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求定积分过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
第六章 微分方程
6.1 微分方程的概念
习题详解
例题13： 求微分方程\(\frac{dy}{dx} = 2x\)的通解。
解答： 对微分方程两边同时积分，得 $\( \int \frac{dy}{dx}dx = \int 2xdx \)\( 因此， \)\( y = x^2 + C \)\( 其中\)C$为任意常数。
实战技巧
- 熟练掌握微分方程的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求解微分方程过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
6.2 微分方程的求解
习题详解
例题14： 求微分方程\(\frac{dy}{dx} = e^x\)的通解。
解答： 对微分方程两边同时积分，得 $\( \int \frac{dy}{dx}dx = \int e^xdx \)\( 因此， \)\( y = e^x + C \)\( 其中\)C$为任意常数。
实战技巧
- 熟练掌握微分方程的定义和运算法则。
- 注意函数的连续性，避免在求解微分方程过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
第七章 线性代数
7.1 行列式
习题详解
例题15： 求行列式\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}\)的值。
解答： 根据行列式的定义，有 $\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} \)\( 计算得 \)\( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \times (45-48) - 2 \times (36-42) + 3 \times (32-35) = -3 + 12 - 9 = 0 \)$
实战技巧
- 熟练掌握行列式的定义和运算法则。
- 注意行列式的性质，避免在求行列式过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。
7.2 矩阵
习题详解
例题16： 求矩阵\(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)的行列式。
解答： 根据行列式的定义，有 $\( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \)$
实战技巧
- 熟练掌握矩阵的定义和运算法则。
- 注意矩阵的性质，避免在求矩阵过程中出现错误。
- 多做练习，提高解题速度和准确性。