小升初60道经典奥数题含详解助你掌握解题技巧攻克难点

小升初奥数（小学升初中数学竞赛）是许多学生和家长关注的焦点，它不仅考察基础知识，还强调逻辑思维、问题解决能力和创新思维。奥数题往往涉及巧妙的解题技巧，帮助学生攻克难点，如行程问题、鸡兔同笼、数论基础等。本文精选60道经典奥数题，按主题分类，每道题提供详细解析和解题技巧。这些题目来源于经典奥数教材和竞赛真题，旨在帮助学生系统掌握方法，提升解题能力。每个主题下，我将先概述核心技巧，然后逐一列出题目、解答和技巧说明。题目难度从易到难，适合小升初复习使用。

一、计算与速算技巧（1-10题）

计算题是奥数基础，强调巧算而非硬算。技巧包括凑整、分组、提取公因数等，帮助学生快速得出结果，避免繁琐计算。

题目1： 计算：9999 × 2222 + 3333 × 3334
解答：
观察数字，发现9999 = 3333 × 3，3334 = 3333 + 1。
原式 = 3333 × 3 × 2222 + 3333 × 3334 = 3333 × (6666 + 3334) = 3333 × 10000 = 33330000。
技巧： 提取公因数3333，将复杂乘法转化为简单加法，提高计算效率。

题目2： 计算：1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - … + 100
解答：
分组：(1+2-3) + (4-5+6) + … + (98-99+100) = 0 + 5 + 10 + … + 100。
从第2组起，每组和为5的倍数，共50组，但需调整。实际：前3项和0，从第4项起每3项一组，和为5,10,…,100，共33组，总和=5×(1+2+…+33)=5×561=2805。
技巧： 符号分组法，将正负项配对，简化符号运算。

题目3： 计算：(1 + ¹⁄₂ + ¹⁄₃ + … + ¹⁄₁₀) × 10! - 10!
解答：
提取10!：10! × (1 + ¹⁄₂ + … + ¹⁄₁₀ - 1) = 10! × (¹⁄₂ + ¹⁄₃ + … + ¹⁄₁₀)。
计算10! = 3628800，内部= (¹⁄₂ + … + ¹⁄₁₀) = (⁵⁄₁₀ + ⁴⁄₁₀ + … + ¹⁄₁₀) 等，实际= ⁷³⁸¹⁄₂₅₂₀ × 3628800 - 3628800，但更巧：= 10! × (H10 -1)，H10≈2.928，结果≈7381×1440 - 3628800=10628640 - 3628800=6999840。
技巧： 提取阶乘公因式，转化为调和级数部分和。

题目4： 计算：12345679 × 9
解答：
12345679 × 9 = 111111111。
技巧： 记忆特殊数字模式，12345679 × 9k = 111…1 (k个1)。

题目5： 计算：1999 + 1998 - 1997 - 1996 + 1995 + 1994 - 1993 - 1992 + … + 3 + 2 - 1
解答：
每4项一组：(1999+1998-1997-1996)=4，(1995+1994-1993-1992)=4，…，(3+2-1)=4，共500组，总和=4×500=2000。
技巧： 周期分组，符号按“++–”循环。

题目6： 计算：1/2 + ¹⁄₄ + ¹⁄₈ + … + ¹⁄₁₀₂₄
解答：
等比数列求和：a=¹⁄₂, q=¹⁄₂, n=10, S= (¹⁄₂)(1-(¹⁄₂)^10)/(1-¹⁄₂) = 1 - ¹⁄₁₀₂₄ = 1023/1024。
技巧： 等比数列公式，首尾相乘或错位相减。

题目7： 计算：(11×11×11 - 10×10×10) / (11×11 + 11×10 + 10×10)
解答：
立方差公式：a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)，这里a=11,b=10，原式=11-10=1。
技巧： 立方差公式直接化简。

题目8： 计算：100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1
解答：
每两项一组：(100-99)=1, (98-97)=1, …, (2-1)=1，共50组，总和=50。
技巧： 差值分组，符号交替。

题目9： 计算：2005 × 20062006 - 2006 × 20052005
解答：
设a=2005,b=2006，原式= a×(b×10001) - b×(a×10001) = 10001ab - 10001ab = 0。
技巧： 分解数字模式，20062006=2006×10001。

题目10： 计算：1² + 2² + 3² + … + 10²
解答：
平方和公式：n(n+1)(2n+1)/6 = 10×11×21/6 = 385。
技巧： 直接用公式，避免逐加。

这些计算题通过巧算训练速度和准确性，建议学生多练习类似模式，形成直觉。

二、应用题：行程问题（11-20题）

行程问题涉及速度、时间、距离，技巧是画线段图、找等量关系、设未知数。

题目11： 甲乙两地相距360km，A车从甲到乙需6小时，B车从乙到甲需4小时。两车同时从两地出发，几小时相遇？
解答：
A速=³⁶⁰⁄₆=60km/h，B速=³⁶⁰⁄₄=90km/h。相遇时间=总距/速度和=360/(60+90)=³⁶⁰⁄₁₅₀=2.4小时。
技巧： 相遇问题公式：时间=路程和/速度和。

题目12： 甲乙从A、B相向而行，甲速5km/h，乙速4km/h，相遇后甲继续到B需4小时，求AB距离。
解答：
相遇时，甲走路程=乙全程。设相遇时间t，甲走5t，乙走4t，总距=9t。相遇后甲走剩余4t到B需4小时，即4t/5=4 ⇒ t=5。总距=9×5=45km。
技巧： 相遇后时间关系，转化为方程。

题目13： 两人环形跑道400m，甲速5m/s，乙速3m/s，同时同地出发，首次相遇需几秒？
解答：
速度差=2m/s，首次追及时间=⁴⁰⁰⁄₂=200s。
技巧： 追及问题：时间=路程差/速度差。

题目14： 车从A到B需8小时，返回时速减1/4，求往返平均速。
解答：
设去程速v，距=8v。返程速=3v/4，时间=8v/(3v/4)=32/3小时。平均速=总距/总时=16v/(8+³²⁄₃)=16v/(⁵⁶⁄₃)=48v/56=6v/7。若v=1，平均速≈0.857，但实际=2/(¹⁄₈ + 4/(3×8))=2/(¹⁄₈+¹⁄₆)=2/(⁷⁄₂₄)=48/7≈6.86km/h。
技巧： 平均速=2v1v2/(v1+v2)，适用于往返。

题目15： 甲乙从A到B，甲先走2小时，乙追及。甲速40km/h，乙速60km/h，求追及时间。
解答：
路程差=40×2=80km。追及时间=80/(60-40)=4小时。
技巧： 追及基础公式。

题目16： 两人从相距100km两地同时出发，相向而行，甲速6km/h，乙速4km/h，甲带狗来回跑，狗速10km/h，求狗总路程。
解答：
相遇时间=100/(6+4)=10小时。狗不停跑，路程=10×10=100km。
技巧： 狗路程只与时间和速相关，无需分段。

题目17： 环形跑道400m，甲速5m/s，乙速3m/s，每100s相遇一次，求同向跑首次相遇时间。
解答：
相向相遇：速度和=8m/s，100s跑800m=2圈，确认跑道400m。同向：速度差=2m/s，首次追及=⁴⁰⁰⁄₂=200s。
技巧： 从相遇推跑道长，再求追及。

题目18： 车从A到B，去程速60km/h，返程速40km/h，往返平均速50km/h？错，求正确平均速。
解答：
平均速=2×60×40/(60+40)=⁴⁸⁰⁰⁄₁₀₀=48km/h。
技巧： 调和平均数。

题目19： 甲乙从A到B，甲速比乙快1/3，甲到B时乙剩1/4路程，求AB距。
解答：
设乙速v，甲速4v/3。时间t，甲走全程s，乙走3s/4。t=s/(4v/3)=3s/(4v)，乙走v×3s/(4v)=3s/4，符合。s任意，但若求具体，设乙走3s/4需t，甲走s需t，s/(4v/3)=3s/(4v)，恒等。实际求比例：甲走s时乙走3s/4，剩余1/4。
技巧： 速度比=路程比（同时间）。

题目20： 两人跑步，甲速5m/s，乙速3m/s，跑道200m，反向跑每25s相遇一次，求同向跑首次相遇时间。
解答：
反向：速度和=8m/s，25s跑200m，确认跑道200m。同向：速度差=2m/s，首次=²⁰⁰⁄₂=100s。
技巧： 类似17，先求跑道长。

行程题需多画图，练习设速和时间。

三、应用题：鸡兔同笼与盈亏（21-30题）

鸡兔同笼技巧：假设法或方程。盈亏：比较盈亏额求份数。

题目21： 笼中鸡兔共35头，94脚，求鸡兔各几只？
解答：
假设全鸡，脚70，少24脚，每兔多2脚，故兔=²⁴⁄₂=12只，鸡=35-12=23只。
技巧： 假设全一种，差值求另一种。

题目22： 买笔，若买8支剩10元，买10支少10元，求笔价和钱数。
解答：
盈亏差=10+10=20元，份数差=2支，笔价=²⁰⁄₂=10元。钱=8×10+10=90元。
技巧： 盈亏公式：单价= (盈+亏)/份数差。

题目23： 鸡兔头差10，脚差20，求各几只？
解答：
设鸡x，兔y，x+y=h, 2x+4y=f。头差x-y=10? 假设兔多10，脚多20，每兔多2脚，故兔=10，鸡=0？错。实际：若兔比鸡多10，脚多20，每兔多2，故兔=10，鸡=0，但头差10，脚差20，符合。但一般：设兔多d，脚多e，d=e/2。
技巧： 头差脚差关系。

题目24： 学生分苹果，每人3个剩8个，每人4个少2个，求人数和苹果。
解答：
盈亏差=8+2=10，份数差=1，人数=10，苹果=3×10+8=38。
技巧： 盈亏标准型。

题目25： 鸡兔共50头，脚160，求鸡。
解答：
假设全鸡，脚100，少60，兔=⁶⁰⁄₂=30，鸡=20。
技巧： 假设法。

题目26： 买书，若买5本剩20元，买7本少10元，求书价。
解答：
盈亏差=20+10=30，份数差=2，书价=15元。
技巧： 盈亏。

题目27： 龟鹤共30头，88脚，求龟鹤。
解答：
龟4脚，鹤2脚。假设全鹤，脚60，少28，龟=²⁸⁄₂=14，鹤=16。
技巧： 类似鸡兔。

题目28： 分糖，每人5颗剩10，每人6颗少4，求人数。
解答：
盈亏差=14，份数差=1，人数=14。
技巧： 盈亏。

题目29： 鸡兔脚和100，头和30，求兔。
解答：
设鸡x兔y，x+y=30, 2x+4y=100 ⇒ 2x+2y+2y=60+2y=100 ⇒ 2y=40 ⇒ y=20。
技巧： 方程组。

题目30： 买笔，买6支剩6元，买9支少9元，求笔价。
解答：
盈亏差=15，份数差=3，笔价=5元。
技巧： 盈亏。

这些题训练假设思维，熟练后可口算。

四、数论与整除（31-40题）

数论基础：整除规则、质因数分解。技巧：枚举、余数周期。

题目31： 1到100中，能被3整除的数之和。
解答：
3,6,…,99，首3末99，项数33，和=33×(3+99)/2=33×51=1683。
技巧： 等差数列求和。

题目32： 100! 末尾有几个0？
解答：
0由2×5产生，5的因子数=¹⁰⁰⁄₅ + ¹⁰⁰⁄₂₅ =20+4=24个。
技巧： 计算5的因子数。

题目33： 找出100以内所有质数。
解答：
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。共25个。
技巧： 埃氏筛法。

题目34： 123456789 能被9整除？求各位和。
解答：
各位和=45，45÷9=5，能整除。
技巧： 9整除规则：数字和整除9。

题目35： 求最小的被2,3,5整除的三位数。
解答：
LCM=30，最小三位100，100÷30=3余10，下个120。
技巧： 最小公倍数。

题目36： 1到100中，能被2或3整除的数个数。
解答：
被2:50个，被3:33个，被6:16个，50+33-16=67。
技巧： 容斥原理。

题目37： 证明：任意两个奇数和为偶数。
解答：
奇数=2k+1, 2m+1, 和=2(k+m+1)，偶数。
技巧： 奇偶性分析。

题目38： 100! 能被11整除？求11因子数。
解答：
¹⁰⁰⁄₁₁=9余1，9个。
技巧： 整除规则。

题目39： 求1到200中，能被4整除但不能被6整除的数。
解答：
被4:50个，被12:16个，50-16=34个。
技巧： 容斥。

题目40： 证明：n² - n 总是偶数。
解答：
n(n-1)，连续整数，必一偶，积偶。
技巧： 连续整数性质。

数论题需记忆规则，多验证。

五、几何与图形（41-50题）

几何技巧：面积公式、相似、对称。画图辅助。

题目41： 正方形边长4cm，求面积和周长。
解答：
面积=16cm²，周长=16cm。
技巧： 基本公式。

题目42： 长方形长5宽3，对角线长？
解答：
勾股：√(25+9)=√34。
技巧： 勾股定理。

题目43： 圆半径3cm，求面积和周长。
解答：
面积=9π≈28.27，周长=6π≈18.85。
技巧： π公式。

题目44： 三角形底6高4，求面积。
解答：
面积=1/2×6×4=12。
技巧： 三角形面积。

题目45： 平行四边形底8高5，求面积。
解答：
面积=40。
技巧： 同三角形。

题目46： 梯形上底3下底5高4，求面积。
解答：
面积=1/2×(3+5)×4=16。
技巧： 梯形公式。

题目47： 圆内接正方形，半径r=1，求正方形面积。
解答：
对角线=2r=2，面积=对角线²/2=⁴⁄₂=2。
技巧： 正方形对角线性质。

题目48： 长方体长宽高3,4,5，求体积和表面积。
解答：
体积=60，表面积=2(12+15+20)=94。
技巧： 立体公式。

题目49： 圆锥底半径3高4，求体积。
解答：
体积=1/3×π×9×4=12π。
技巧： 圆锥公式。

题目50： 两个正方形边长比2:3，面积比？
解答：
面积比=4:9。
技巧： 面积比=边长比²。

几何多画图，记公式。

六、逻辑与排列组合（51-60题）

逻辑题：枚举、排除。排列：有序无序区分。

题目51： 3个数字1,2,3组成三位数，无重复，有多少个？
解答：
3!=6个。
技巧： 排列P(3,3)。

题目52： 4人排队，有多少种？
解答：
4!=24。
技巧： 全排列。

题目53： 从5本书选3本，有多少种？
解答：
C(5,3)=10。
技巧： 组合。

题目54： 骰子掷两次，点数和为7，有多少种？
解答：
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6种。
技巧： 枚举有序对。

题目55： 3红2白球，摸2个同色概率？
解答：
总C(5,2)=10，同色：红C(3,2)=3，白C(2,2)=1，概率=⁴⁄₁₀=2/5。
技巧： 组合概率。

题目56： A,B,C三人，谁第一有多少种？
解答：
3种。
技巧： 排列首位。

题目57： 1到9选4个数字和为20，有多少种？
解答：
枚举：如1,2,8,9；1,3,7,9；1,4,6,9；1,4,7,8；2,3,6,9；2,4,5,9；2,4,6,8；3,4,5,8；等，共10种（需枚举全）。
技巧： 系统枚举。

题目58： 真假话问题：A说B说谎，B说C说谎，C说A,B都真，谁说谎？
解答：
假设A真，则B假，C真，但C说A真符合，矛盾？实际：若A真，B假，C说A真B真，但B假，故C假。但C说A真B真，若C假，则A,B不全真，矛盾。若A假，则B真，C说A真B真假，故C假，但C说A,B都真假，符合。故A说谎。
技巧： 假设法，逐个验证。

题目59： 5人握手，每人握4次，总次数？
解答：
每握手两人，总=5×4/2=10次。
技巧： 图论基础。

题目60： 3个盒子，每个放1-2球，总3球，有多少种放法？
解答：
枚举：(1,1,1),(2,1,0)及排列，(2,1,0)有6种，(1,1,1)1种，共7种。
技巧： 分类枚举。

逻辑题需耐心，练习思维严谨。

通过这60道题，学生可系统掌握小升初奥数核心技巧。建议每天练习10道，结合解析反思，攻克计算、行程、鸡兔、数论、几何、逻辑六大难点。坚持练习，解题速度和准确率将显著提升！