引言
小升初数学考试中，比例问题是必考且容易失分的难点。比例题不仅考察基本概念，还常与分数、百分数、行程问题、工程问题等结合，形成综合性题目。本文将通过17道典型例题的详细解析，系统讲解比例问题的解题技巧，帮助学生掌握核心方法，提升解题能力。
一、比例的基本概念与性质
1.1 比例的定义
比例表示两个比相等的式子，即 ( a:b = c:d ) 或 ( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} )。其中，( a ) 和 ( d ) 称为外项，( b ) 和 ( c ) 称为内项。
性质：外项积等于内项积，即 ( a \times d = b \times c )。
1.2 正比例与反比例
- 正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且比值一定。例如，速度一定时，路程与时间成正比例。
- 反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且乘积一定。例如，路程一定时，速度与时间成反比例。
1.3 比例尺
比例尺 = 图上距离 : 实际距离。常用于地图、图纸等。
二、基础比例题解析（1-5题）
例题1：基本比例计算
题目：已知 ( 3:5 = x:10 )，求 ( x ) 的值。
解析： 根据比例的性质，外项积等于内项积： [ 3 \times 10 = 5 \times x ] [ 30 = 5x ] [ x = 6 ]
技巧：直接使用交叉相乘法，快速求解。
例题2：比例与分数
题目：一个分数的分子和分母的比是 ( 3:4 )，如果分子加上6，分母加上8，新分数的值是 ( \frac{1}{2} )，求原分数。
解析： 设原分数为 ( \frac{3k}{4k} )（( k \neq 0 )）。 根据题意： [ \frac{3k + 6}{4k + 8} = \frac{1}{2} ] 交叉相乘： [ 2(3k + 6) = 1(4k + 8) ] [ 6k + 12 = 4k + 8 ] [ 2k = -4 ] [ k = -2 ] 原分数为 ( \frac{3 \times (-2)}{4 \times (-2)} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4} )。
技巧：设比例系数 ( k ) 是解决比例问题的常用方法。
例题3：比例与百分数
题目：某班男生人数是女生人数的 ( 80\% )，求男生与女生人数的比。
解析： 设女生人数为 ( 100 ) 人，则男生人数为 ( 80 ) 人。 男生与女生人数的比为 ( 80:100 = 4:5 )。
技巧：百分数可以转化为比例，通常将百分数看作 ( \frac{a}{100} )，然后化简。
例题4：比例与平均数
题目：甲、乙两数的平均数是 ( 20 )，甲、乙两数的比是 ( 3:2 )，求甲、乙两数。
解析： 设甲数为 ( 3k )，乙数为 ( 2k )。 根据平均数公式： [ \frac{3k + 2k}{2} = 20 ] [ \frac{5k}{2} = 20 ] [ 5k = 40 ] [ k = 8 ] 甲数为 ( 3 \times 8 = 24 )，乙数为 ( 2 \times 8 = 16 )。
技巧：平均数问题常与比例结合，设比例系数 ( k ) 是关键。
例题5：比例与浓度
题目：盐水浓度问题。现有盐水 ( 200 ) 克，其中盐与水的质量比是 ( 1:4 )。如果再加入 ( 50 ) 克水，求新盐水的浓度。
解析： 原盐水中，盐的质量为 ( 200 \times \frac{1}{1+4} = 40 ) 克，水的质量为 ( 200 - 40 = 160 ) 克。 加入 ( 50 ) 克水后，总质量为 ( 200 + 50 = 250 ) 克，盐的质量不变，仍为 ( 40 ) 克。 新浓度为 ( \frac{40}{250} = 16\% )。
技巧：浓度问题中，溶质（盐）的质量不变，抓住不变量是解题关键。
三、进阶比例题解析（6-10题）
例题6：比例与行程问题
题目：甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度与乙车速度的比是 ( 3:2 )，相遇时甲车比乙车多行 ( 60 ) 千米。求A、B两地的距离。
解析： 设甲车速度为 ( 3v )，乙车速度为 ( 2v )。 相遇时，两车所用时间相同，路程比等于速度比，即 ( 3:2 )。 甲车比乙车多行 ( 60 ) 千米，对应比例差 ( 3-2=1 ) 份。 每份路程为 ( 60 \div 1 = 60 ) 千米。 总路程为 ( (3+2) \times 60 = 300 ) 千米。
技巧：相遇问题中，路程比等于速度比（时间相同），这是核心关系。
例题7：比例与工程问题
题目：甲、乙两队合作完成一项工程需要 ( 12 ) 天。如果甲队单独做需要 ( 20 ) 天，求乙队单独做需要多少天。
解析： 设工程总量为 ( 1 )。 甲队的工作效率为 ( \frac{1}{20} )。 甲、乙合作效率为 ( \frac{1}{12} )。 乙队的工作效率为 ( \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5-3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} )。 乙队单独做需要 ( 30 ) 天。
技巧：工程问题中，工作效率比等于工作总量比（时间相同），或时间比等于工作效率的反比。
例题8：比例与几何问题
题目：一个长方形的长与宽的比是 ( 5:3 )，如果长增加 ( 10 ) 厘米，宽增加 ( 2 ) 厘米，面积增加 ( 100 ) 平方厘米。求原长方形的长和宽。
解析： 设原长为 ( 5k ) 厘米，宽为 ( 3k ) 厘米。 原面积为 ( 5k \times 3k = 15k^2 )。 新长为 ( 5k + 10 )，新宽为 ( 3k + 2 )。 新面积为 ( (5k + 10)(3k + 2) = 15k^2 + 10k + 30k + 20 = 15k^2 + 40k + 20 )。 面积增加 ( 100 ) 平方厘米： [ (15k^2 + 40k + 20) - 15k^2 = 100 ] [ 40k + 20 = 100 ] [ 40k = 80 ] [ k = 2 ] 原长为 ( 5 \times 2 = 10 ) 厘米，原宽为 ( 3 \times 2 = 6 ) 厘米。
技巧：几何问题中，设比例系数 ( k ) 可简化计算。
例题9：比例与价格问题
题目：某商品按定价出售，利润率为 ( 20\% )。如果成本降低 ( 10\% )，售价不变，求新的利润率。
解析： 设成本为 ( 100 ) 元，定价为 ( 100 \times (1 + 20\%) = 120 ) 元。 成本降低 ( 10\% ) 后，新成本为 ( 100 \times (1 - 10\%) = 90 ) 元。 售价不变，仍为 ( 120 ) 元。 新利润为 ( 120 - 90 = 30 ) 元。 新利润率为 ( \frac{30}{90} \approx 33.33\% )。
技巧：价格问题中，设具体数值（如成本为100）可简化计算。
例题10：比例与混合问题
题目：甲、乙两种糖，单价比为 ( 5:4 )，质量比为 ( 3:2 )。混合后，求混合糖的单价。
解析： 设甲糖单价为 ( 5x ) 元/千克，乙糖单价为 ( 4x ) 元/千克。 设甲糖质量为 ( 3y ) 千克，乙糖质量为 ( 2y ) 千克。 总成本为 ( 5x \times 3y + 4x \times 2y = 15xy + 8xy = 23xy )。 总质量为 ( 3y + 2y = 5y )。 混合单价为 ( \frac{23xy}{5y} = \frac{23x}{5} = 4.6x )。 甲糖单价为 ( 5x )，乙糖单价为 ( 4x )，混合单价为 ( 4.6x )，介于两者之间。
技巧：混合问题中，总成本除以总质量得到平均单价。
四、综合比例题解析（11-17题）
例题11：比例与年龄问题
题目：今年父亲与儿子的年龄比是 ( 5:2 )，5年后，年龄比是 ( 3:1 )。求今年父亲和儿子的年龄。
解析： 设今年父亲年龄为 ( 5k )，儿子年龄为 ( 2k )。 5年后，父亲年龄为 ( 5k + 5 )，儿子年龄为 ( 2k + 5 )。 根据题意： [ \frac{5k + 5}{2k + 5} = \frac{3}{1} ] 交叉相乘： [ 5k + 5 = 3(2k + 5) ] [ 5k + 5 = 6k + 15 ] [ -10 = k ] [ k = -10 ] 今年父亲年龄为 ( 5 \times (-10) = -50 )？显然不合理，说明题目数据有误或理解有误。重新检查题目。
修正：年龄问题中，年龄差不变。今年年龄比 ( 5:2 )，差为 ( 3 ) 份；5年后年龄比 ( 3:1 )，差为 ( 2 ) 份。年龄差不变，所以 ( 3 ) 份和 ( 2 ) 份应相等，即 ( 3 = 2 )，矛盾。因此，原题数据可能有误。假设5年后年龄比是 ( 7:4 )，则差为 ( 3 ) 份，与今年差 ( 3 ) 份一致。
修正后题目：今年父亲与儿子的年龄比是 ( 5:2 )，5年后，年龄比是 ( 7:4 )。求今年父亲和儿子的年龄。
解析： 设今年父亲年龄为 ( 5k )，儿子年龄为 ( 2k )。 年龄差为 ( 3k )。 5年后，年龄差仍为 ( 3k )。 5年后年龄比 ( 7:4 )，差为 ( 3 ) 份，对应 ( 3k )，所以每份为 ( k )。 5年后父亲年龄为 ( 7k )，儿子年龄为 ( 4k )。 今年父亲年龄为 ( 7k - 5 = 5k )，解得 ( 2k = 5 )，( k = 2.5 )。 今年父亲年龄为 ( 5 \times 2.5 = 12.5 ) 岁？不合理，因为父亲年龄应为整数。说明数据仍需调整。
正确解法：年龄问题中，年龄差不变。设今年父亲年龄为 ( 5k )，儿子年龄为 ( 2k )，年龄差为 ( 3k )。 5年后，年龄差仍为 ( 3k )。 设5年后年龄比为 ( a:b )，则 ( a - b = 3k )。 如果 ( a:b = 3:1 )，则 ( a - b = 2 ) 份，对应 ( 3k )，所以每份为 ( 1.5k )。 5年后父亲年龄为 ( 3 \times 1.5k = 4.5k )，儿子年龄为 ( 1 \times 1.5k = 1.5k )。 今年父亲年龄为 ( 4.5k - 5 = 5k )，解得 ( 0.5k = 5 )，( k = 10 )。 今年父亲年龄为 ( 5 \times 10 = 50 ) 岁，儿子年龄为 ( 2 \times 10 = 20 ) 岁。 5年后，父亲 ( 55 ) 岁，儿子 ( 25 ) 岁，年龄比 ( 55:25 = 11:5 )，不是 ( 3:1 )。所以原题数据确实有误。
结论：年龄问题中，年龄差不变，但比例变化时，需确保数据合理。建议题目改为：今年父亲与儿子的年龄比是 ( 5:2 )，5年后，年龄比是 ( 11:5 )。则解得父亲 ( 50 ) 岁，儿子 ( 20 ) 岁。
技巧：年龄问题中，年龄差不变，但比例变化时，需设比例系数并利用年龄差列方程。
例题12：比例与浓度问题（进阶）
题目：有甲、乙两种盐水，甲盐水浓度为 ( 10\% )，乙盐水浓度为 ( 20\% )。要配制浓度为 ( 15\% ) 的盐水 ( 300 ) 克，需甲、乙盐水各多少克？
解析： 设需甲盐水 ( x ) 克，乙盐水 ( y ) 克。 总质量：( x + y = 300 )。 盐的质量：( 0.1x + 0.2y = 0.15 \times 300 = 45 )。 解方程组： [ \begin{cases} x + y = 300 \ 0.1x + 0.2y = 45 \end{cases} ] 将第一式乘以 ( 0.1 )：( 0.1x + 0.1y = 30 )。 减去第二式：( (0.1x + 0.2y) - (0.1x + 0.1y) = 45 - 30 )。 [ 0.1y = 15 ] [ y = 150 ] [ x = 300 - 150 = 150 ] 需甲、乙盐水各 ( 150 ) 克。
技巧：浓度混合问题常用十字交叉法或方程组法。十字交叉法：甲浓度 ( 10\% )，乙浓度 ( 20\% )，目标浓度 ( 15\% )。甲与乙的质量比为 ( (20\% - 15\%) : (15\% - 10\%) = 5:5 = 1:1 )，所以各 ( 150 ) 克。
例题13：比例与利润问题
题目：某商品按定价出售，可获利 ( 20\% )。如果按定价的 ( 90\% ) 出售，可获利 ( 10\% )。求定价与成本的比。
解析： 设成本为 ( C )，定价为 ( P )。 按定价出售，获利 ( 20\% )：( P = C \times (1 + 20\%) = 1.2C )。 按定价的 ( 90\% ) 出售，即售价为 ( 0.9P )，获利 ( 10\% )：( 0.9P = C \times (1 + 10\%) = 1.1C )。 将 ( P = 1.2C ) 代入第二式：( 0.9 \times 1.2C = 1.1C )。 [ 1.08C = 1.1C ] [ 1.08 = 1.1 ] 矛盾，说明题目数据有误。假设获利 ( 10\% ) 是相对于成本的，则 ( 0.9P = 1.1C )，与 ( P = 1.2C ) 联立： [ 0.9 \times 1.2C = 1.08C \neq 1.1C ] 所以数据需调整。假设按定价的 ( 90\% ) 出售，获利 ( 8\% )，则 ( 0.9P = 1.08C )，与 ( P = 1.2C ) 联立： [ 0.9 \times 1.2C = 1.08C ] 成立。所以定价与成本的比为 ( 1.2:1 = 6:5 )。
技巧：利润问题中，售价 = 成本 × (1 + 利润率)。注意利润率的基准是成本。
例题14：比例与行程问题（进阶）
题目：甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度是乙车速度的 ( 1.2 ) 倍。相遇后，甲车继续行驶到B地，乙车继续行驶到A地，到达后立即返回。两车第二次相遇时，甲车比乙车多行 ( 100 ) 千米。求A、B两地的距离。
解析： 设乙车速度为 ( v )，则甲车速度为 ( 1.2v )。 第一次相遇时，两车所用时间相同，路程比等于速度比 ( 1.2:1 = 6:5 )。 设A、B两地距离为 ( S )。 第一次相遇时，甲车行驶 ( \frac{6}{11}S )，乙车行驶 ( \frac{5}{11}S )。 相遇后，两车继续行驶到终点并返回，第二次相遇时，两车共行驶 ( 3S )（因为第一次相遇后，两车各行驶 ( S ) 到终点，再返回，共 ( 2S )，加上第一次相遇前的 ( S )，总计 ( 3S )）。 第二次相遇时，甲车行驶的总路程为 ( \frac{6}{11}S + \frac{6}{11}S + \frac{6}{11}S = \frac{18}{11}S )（因为速度比不变，路程比仍为 ( 6:5 )）。 乙车行驶的总路程为 ( \frac{5}{11}S + \frac{5}{11}S + \frac{5}{11}S = \frac{15}{11}S )。 甲车比乙车多行 ( \frac{18}{11}S - \frac{15}{11}S = \frac{3}{11}S )。 根据题意，( \frac{3}{11}S = 100 )，解得 ( S = \frac{1100}{3} \approx 366.67 ) 千米。
技巧：多次相遇问题中，两车共行驶的路程是相遇次数的倍数。第一次相遇共行驶 ( S )，第二次相遇共行驶 ( 3S )，第三次相遇共行驶 ( 5S )，以此类推。
例题15：比例与工程问题（进阶）
题目：甲、乙、丙三队合作完成一项工程需要 ( 10 ) 天。如果甲、乙两队合作，需要 ( 15 ) 天；如果乙、丙两队合作，需要 ( 20 ) 天。求甲、乙、丙三队单独完成各需多少天。
解析： 设工程总量为 ( 1 )。 甲、乙、丙合作效率：( \frac{1}{10} )。 甲、乙合作效率：( \frac{1}{15} )。 乙、丙合作效率：( \frac{1}{20} )。 甲队效率 = 三队合作效率 - 乙、丙合作效率 = ( \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20} )。 丙队效率 = 三队合作效率 - 甲、乙合作效率 = ( \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30} )。 乙队效率 = 甲、乙合作效率 - 甲队效率 = ( \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{1}{60} )。 甲队单独做需 ( 20 ) 天，乙队需 ( 60 ) 天，丙队需 ( 30 ) 天。
技巧：工程问题中，效率相加减是常用方法。注意效率与时间的倒数关系。
例题16：比例与几何问题（进阶）
题目：一个圆柱与圆锥的体积比是 ( 3:1 )，底面积比是 ( 2:1 )，高之比是多少？
解析： 圆柱体积公式：( V{\text{柱}} = S{\text{柱}} \times h{\text{柱}} )。 圆锥体积公式：( V{\text{锥}} = \frac{1}{3} S{\text{锥}} \times h{\text{锥}} )。 设圆柱底面积为 ( 2S )，高为 ( h{\text{柱}} )；圆锥底面积为 ( S )，高为 ( h{\text{锥}} )。 体积比： [ \frac{V{\text{柱}}}{V{\text{锥}}} = \frac{2S \times h{\text{柱}}}{\frac{1}{3} S \times h{\text{锥}}} = \frac{2 h{\text{柱}}}{\frac{1}{3} h{\text{锥}}} = \frac{6 h{\text{柱}}}{h{\text{锥}}} = 3:1 ] 所以： [ \frac{6 h{\text{柱}}}{h{\text{锥}}} = 3 ] [ 6 h{\text{柱}} = 3 h{\text{锥}} ] [ h{\text{柱}} : h{\text{锥}} = 1:2 ] 高之比为 ( 1:2 )。
技巧：几何问题中，体积公式是关键。注意圆锥体积是圆柱的 ( \frac{1}{3} )。
例题17：比例与浓度问题（综合）
题目：有甲、乙两种盐水，甲盐水浓度为 ( 10\% )，乙盐水浓度为 ( 30\% )。要配制浓度为 ( 20\% ) 的盐水，需甲、乙盐水的质量比是多少？如果配制 ( 600 ) 克这样的盐水，需甲、乙盐水各多少克？
解析： 第一部分：求质量比。 设需甲盐水 ( x ) 克，乙盐水 ( y ) 克。 总盐量：( 0.1x + 0.3y = 0.2(x + y) )。 [ 0.1x + 0.3y = 0.2x + 0.2y ] [ 0.3y - 0.2y = 0.2x - 0.1x ] [ 0.1y = 0.1x ] [ x = y ] 质量比为 ( 1:1 )。
第二部分：配制 ( 600 ) 克。 需甲盐水 ( 300 ) 克，乙盐水 ( 300 ) 克。
技巧：浓度混合问题中，十字交叉法更简便。甲浓度 ( 10\% )，乙浓度 ( 30\% )，目标浓度 ( 20\% )。甲与乙的质量比为 ( (30\% - 20\%) : (20\% - 10\%) = 10:10 = 1:1 )。
五、比例问题的解题技巧总结
5.1 设比例系数 ( k )
对于涉及比例的问题，设比例系数 ( k ) 是通用方法。例如，( a:b = 3:2 )，设 ( a = 3k )，( b = 2k )。
5.2 抓住不变量
在比例问题中，常存在不变量，如年龄差、溶质质量、总路程等。抓住不变量可简化问题。
5.3 利用比例性质
交叉相乘法是解比例方程的基本方法。对于复杂比例，可转化为方程求解。
5.4 十字交叉法
适用于浓度混合、平均数混合等问题。快速求出质量比。
5.5 数形结合
对于几何比例问题，画图可帮助理解。例如，长方形、圆柱、圆锥等。
5.6 方程思想
对于综合性问题，设未知数列方程是有效方法。注意方程的合理性。
5.7 检验答案
解题后，将答案代入原题检验，确保合理。
六、常见错误与注意事项
6.1 比例顺序错误
比例 ( a:b ) 与 ( b:a ) 不同，注意顺序。
6.2 单位不统一
计算时确保单位一致，如时间、长度、质量等。
6.3 比例系数 ( k ) 的取值
( k ) 通常为正数，但在某些问题中（如年龄问题），需注意合理性。
6.4 利润率基准
利润率通常以成本为基准，注意区分。
6.5 年龄问题中的年龄差
年龄差不变，但比例变化时，需重新计算。
6.6 浓度问题中的溶质质量
混合时，溶质质量可能变化，注意是否加水或加盐。
七、练习题（附答案）
练习题1
已知 ( 2:3 = x:9 )，求 ( x )。
答案：( x = 6 )。
练习题2
一个分数的分子和分母的比是 ( 5:7 )，如果分子加上10，分母加上14，新分数的值是 ( \frac{1}{2} )，求原分数。
答案：原分数为 ( \frac{5}{7} )。
练习题3
甲、乙两数的平均数是 ( 30 )，甲、乙两数的比是 ( 4:5 )，求甲、乙两数。
答案：甲数 ( 24 )，乙数 ( 36 )。
练习题4
甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度与乙车速度的比是 ( 5:3 )，相遇时甲车比乙车多行 ( 40 ) 千米。求A、B两地的距离。
答案：( 160 ) 千米。
练习题5
甲、乙两种糖，单价比为 ( 3:2 )，质量比为 ( 4:5 )。混合后，求混合糖的单价。
答案：混合单价为 ( \frac{22}{9} ) 倍的甲糖单价。
八、结语
比例问题是小升初数学的重点和难点。通过系统学习比例的基本概念、性质，掌握设比例系数、抓住不变量、利用比例性质等技巧，结合典型例题的解析，可以有效提升解题能力。建议学生多做练习，总结规律，逐步攻克比例问题。
注意：本文例题和练习题均基于常见题型设计，部分题目数据可能需调整以符合实际情况。解题时，务必仔细审题，确保数据合理。# 小升初比例题17题解析与解题技巧分享
引言
小升初数学考试中，比例问题是必考且容易失分的难点。比例题不仅考察基本概念，还常与分数、百分数、行程问题、工程问题等结合，形成综合性题目。本文将通过17道典型例题的详细解析，系统讲解比例问题的解题技巧，帮助学生掌握核心方法，提升解题能力。
一、比例的基本概念与性质
1.1 比例的定义
比例表示两个比相等的式子，即 ( a:b = c:d ) 或 ( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} )。其中，( a ) 和 ( d ) 称为外项，( b ) 和 ( c ) 称为内项。
性质：外项积等于内项积，即 ( a \times d = b \times c )。
1.2 正比例与反比例
- 正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且比值一定。例如，速度一定时，路程与时间成正比例。
- 反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随之变化，且乘积一定。例如，路程一定时，速度与时间成反比例。
1.3 比例尺
比例尺 = 图上距离 : 实际距离。常用于地图、图纸等。
二、基础比例题解析（1-5题）
例题1：基本比例计算
题目：已知 ( 3:5 = x:10 )，求 ( x ) 的值。
解析： 根据比例的性质，外项积等于内项积： [ 3 \times 10 = 5 \times x ] [ 30 = 5x ] [ x = 6 ]
技巧：直接使用交叉相乘法，快速求解。
例题2：比例与分数
题目：一个分数的分子和分母的比是 ( 3:4 )，如果分子加上6，分母加上8，新分数的值是 ( \frac{1}{2} )，求原分数。
解析： 设原分数为 ( \frac{3k}{4k} )（( k \neq 0 )）。 根据题意： [ \frac{3k + 6}{4k + 8} = \frac{1}{2} ] 交叉相乘： [ 2(3k + 6) = 1(4k + 8) ] [ 6k + 12 = 4k + 8 ] [ 2k = -4 ] [ k = -2 ] 原分数为 ( \frac{3 \times (-2)}{4 \times (-2)} = \frac{-6}{-8} = \frac{3}{4} )。
技巧：设比例系数 ( k ) 是解决比例问题的常用方法。
例题3：比例与百分数
题目：某班男生人数是女生人数的 ( 80\% )，求男生与女生人数的比。
解析： 设女生人数为 ( 100 ) 人，则男生人数为 ( 80 ) 人。 男生与女生人数的比为 ( 80:100 = 4:5 )。
技巧：百分数可以转化为比例，通常将百分数看作 ( \frac{a}{100} )，然后化简。
例题4：比例与平均数
题目：甲、乙两数的平均数是 ( 20 )，甲、乙两数的比是 ( 3:2 )，求甲、乙两数。
解析： 设甲数为 ( 3k )，乙数为 ( 2k )。 根据平均数公式： [ \frac{3k + 2k}{2} = 20 ] [ \frac{5k}{2} = 20 ] [ 5k = 40 ] [ k = 8 ] 甲数为 ( 3 \times 8 = 24 )，乙数为 ( 2 \times 8 = 16 )。
技巧：平均数问题常与比例结合，设比例系数 ( k ) 是关键。
例题5：比例与浓度
题目：盐水浓度问题。现有盐水 ( 200 ) 克，其中盐与水的质量比是 ( 1:4 )。如果再加入 ( 50 ) 克水，求新盐水的浓度。
解析： 原盐水中，盐的质量为 ( 200 \times \frac{1}{1+4} = 40 ) 克，水的质量为 ( 200 - 40 = 160 ) 克。 加入 ( 50 ) 克水后，总质量为 ( 200 + 50 = 250 ) 克，盐的质量不变，仍为 ( 40 ) 克。 新浓度为 ( \frac{40}{250} = 16\% )。
技巧：浓度问题中，溶质（盐）的质量不变，抓住不变量是解题关键。
三、进阶比例题解析（6-10题）
例题6：比例与行程问题
题目：甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度与乙车速度的比是 ( 3:2 )，相遇时甲车比乙车多行 ( 60 ) 千米。求A、B两地的距离。
解析： 设甲车速度为 ( 3v )，乙车速度为 ( 2v )。 相遇时，两车所用时间相同，路程比等于速度比，即 ( 3:2 )。 甲车比乙车多行 ( 60 ) 千米，对应比例差 ( 3-2=1 ) 份。 每份路程为 ( 60 \div 1 = 60 ) 千米。 总路程为 ( (3+2) \times 60 = 300 ) 千米。
技巧：相遇问题中，路程比等于速度比（时间相同），这是核心关系。
例题7：比例与工程问题
题目：甲、乙两队合作完成一项工程需要 ( 12 ) 天。如果甲队单独做需要 ( 20 ) 天，求乙队单独做需要多少天。
解析： 设工程总量为 ( 1 )。 甲队的工作效率为 ( \frac{1}{20} )。 甲、乙合作效率为 ( \frac{1}{12} )。 乙队的工作效率为 ( \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5-3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} )。 乙队单独做需要 ( 30 ) 天。
技巧：工程问题中，工作效率比等于工作总量比（时间相同），或时间比等于工作效率的反比。
例题8：比例与几何问题
题目：一个长方形的长与宽的比是 ( 5:3 )，如果长增加 ( 10 ) 厘米，宽增加 ( 2 ) 厘米，面积增加 ( 100 ) 平方厘米。求原长方形的长和宽。
解析： 设原长为 ( 5k ) 厘米，宽为 ( 3k ) 厘米。 原面积为 ( 5k \times 3k = 15k^2 )。 新长为 ( 5k + 10 )，新宽为 ( 3k + 2 )。 新面积为 ( (5k + 10)(3k + 2) = 15k^2 + 10k + 30k + 20 = 15k^2 + 40k + 20 )。 面积增加 ( 100 ) 平方厘米： [ (15k^2 + 40k + 20) - 15k^2 = 100 ] [ 40k + 20 = 100 ] [ 40k = 80 ] [ k = 2 ] 原长为 ( 5 \times 2 = 10 ) 厘米，原宽为 ( 3 \times 2 = 6 ) 厘米。
技巧：几何问题中，设比例系数 ( k ) 可简化计算。
例题9：比例与价格问题
题目：某商品按定价出售，利润率为 ( 20\% )。如果成本降低 ( 10\% )，售价不变，求新的利润率。
解析： 设成本为 ( 100 ) 元，定价为 ( 100 \times (1 + 20\%) = 120 ) 元。 成本降低 ( 10\% ) 后，新成本为 ( 100 \times (1 - 10\%) = 90 ) 元。 售价不变，仍为 ( 120 ) 元。 新利润为 ( 120 - 90 = 30 ) 元。 新利润率为 ( \frac{30}{90} \approx 33.33\% )。
技巧：价格问题中，设具体数值（如成本为100）可简化计算。
例题10：比例与混合问题
题目：甲、乙两种糖，单价比为 ( 5:4 )，质量比为 ( 3:2 )。混合后，求混合糖的单价。
解析： 设甲糖单价为 ( 5x ) 元/千克，乙糖单价为 ( 4x ) 元/千克。 设甲糖质量为 ( 3y ) 千克，乙糖质量为 ( 2y ) 千克。 总成本为 ( 5x \times 3y + 4x \times 2y = 15xy + 8xy = 23xy )。 总质量为 ( 3y + 2y = 5y )。 混合单价为 ( \frac{23xy}{5y} = \frac{23x}{5} = 4.6x )。 甲糖单价为 ( 5x )，乙糖单价为 ( 4x )，混合单价为 ( 4.6x )，介于两者之间。
技巧：混合问题中，总成本除以总质量得到平均单价。
四、综合比例题解析（11-17题）
例题11：比例与年龄问题
题目：今年父亲与儿子的年龄比是 ( 5:2 )，5年后，年龄比是 ( 3:1 )。求今年父亲和儿子的年龄。
解析： 设今年父亲年龄为 ( 5k )，儿子年龄为 ( 2k )。 5年后，父亲年龄为 ( 5k + 5 )，儿子年龄为 ( 2k + 5 )。 根据题意： [ \frac{5k + 5}{2k + 5} = \frac{3}{1} ] 交叉相乘： [ 5k + 5 = 3(2k + 5) ] [ 5k + 5 = 6k + 15 ] [ -10 = k ] [ k = -10 ] 今年父亲年龄为 ( 5 \times (-10) = -50 )？显然不合理，说明题目数据有误或理解有误。重新检查题目。
修正：年龄问题中，年龄差不变。今年年龄比 ( 5:2 )，差为 ( 3 ) 份；5年后年龄比 ( 3:1 )，差为 ( 2 ) 份。年龄差不变，所以 ( 3 ) 份和 ( 2 ) 份应相等，即 ( 3 = 2 )，矛盾。因此，原题数据可能有误。假设5年后年龄比是 ( 7:4 )，则差为 ( 3 ) 份，与今年差 ( 3 ) 份一致。
修正后题目：今年父亲与儿子的年龄比是 ( 5:2 )，5年后，年龄比是 ( 7:4 )。求今年父亲和儿子的年龄。
解析： 设今年父亲年龄为 ( 5k )，儿子年龄为 ( 2k )。 年龄差为 ( 3k )。 5年后，年龄差仍为 ( 3k )。 5年后年龄比 ( 7:4 )，差为 ( 3 ) 份，对应 ( 3k )，所以每份为 ( k )。 5年后父亲年龄为 ( 7k )，儿子年龄为 ( 4k )。 今年父亲年龄为 ( 7k - 5 = 5k )，解得 ( 2k = 5 )，( k = 2.5 )。 今年父亲年龄为 ( 5 \times 2.5 = 12.5 ) 岁？不合理，因为父亲年龄应为整数。说明数据仍需调整。
正确解法：年龄问题中，年龄差不变。设今年父亲年龄为 ( 5k )，儿子年龄为 ( 2k )，年龄差为 ( 3k )。 5年后，年龄差仍为 ( 3k )。 设5年后年龄比为 ( a:b )，则 ( a - b = 3k )。 如果 ( a:b = 3:1 )，则 ( a - b = 2 ) 份，对应 ( 3k )，所以每份为 ( 1.5k )。 5年后父亲年龄为 ( 3 \times 1.5k = 4.5k )，儿子年龄为 ( 1 \times 1.5k = 1.5k )。 今年父亲年龄为 ( 4.5k - 5 = 5k )，解得 ( 0.5k = 5 )，( k = 10 )。 今年父亲年龄为 ( 5 \times 10 = 50 ) 岁，儿子年龄为 ( 2 \times 10 = 20 ) 岁。 5年后，父亲 ( 55 ) 岁，儿子 ( 25 ) 岁，年龄比 ( 55:25 = 11:5 )，不是 ( 3:1 )。所以原题数据确实有误。
结论：年龄问题中，年龄差不变，但比例变化时，需确保数据合理。建议题目改为：今年父亲与儿子的年龄比是 ( 5:2 )，5年后，年龄比是 ( 11:5 )。则解得父亲 ( 50 ) 岁，儿子 ( 20 ) 岁。
技巧：年龄问题中，年龄差不变，但比例变化时，需设比例系数并利用年龄差列方程。
例题12：比例与浓度问题（进阶）
题目：有甲、乙两种盐水，甲盐水浓度为 ( 10\% )，乙盐水浓度为 ( 20\% )。要配制浓度为 ( 15\% ) 的盐水 ( 300 ) 克，需甲、乙盐水各多少克？
解析： 设需甲盐水 ( x ) 克，乙盐水 ( y ) 克。 总质量：( x + y = 300 )。 盐的质量：( 0.1x + 0.2y = 0.15 \times 300 = 45 )。 解方程组： [ \begin{cases} x + y = 300 \ 0.1x + 0.2y = 45 \end{cases} ] 将第一式乘以 ( 0.1 )：( 0.1x + 0.1y = 30 )。 减去第二式：( (0.1x + 0.2y) - (0.1x + 0.1y) = 45 - 30 )。 [ 0.1y = 15 ] [ y = 150 ] [ x = 300 - 150 = 150 ] 需甲、乙盐水各 ( 150 ) 克。
技巧：浓度混合问题常用十字交叉法或方程组法。十字交叉法：甲浓度 ( 10\% )，乙浓度 ( 20\% )，目标浓度 ( 15\% )。甲与乙的质量比为 ( (20\% - 15\%) : (15\% - 10\%) = 5:5 = 1:1 )，所以各 ( 150 ) 克。
例题13：比例与利润问题
题目：某商品按定价出售，可获利 ( 20\% )。如果按定价的 ( 90\% ) 出售，可获利 ( 10\% )。求定价与成本的比。
解析： 设成本为 ( C )，定价为 ( P )。 按定价出售，获利 ( 20\% )：( P = C \times (1 + 20\%) = 1.2C )。 按定价的 ( 90\% ) 出售，即售价为 ( 0.9P )，获利 ( 10\% )：( 0.9P = C \times (1 + 10\%) = 1.1C )。 将 ( P = 1.2C ) 代入第二式：( 0.9 \times 1.2C = 1.1C )。 [ 1.08C = 1.1C ] [ 1.08 = 1.1 ] 矛盾，说明题目数据有误。假设获利 ( 10\% ) 是相对于成本的，则 ( 0.9P = 1.1C )，与 ( P = 1.2C ) 联立： [ 0.9 \times 1.2C = 1.08C \neq 1.1C ] 所以数据需调整。假设按定价的 ( 90\% ) 出售，获利 ( 8\% )，则 ( 0.9P = 1.08C )，与 ( P = 1.2C ) 联立： [ 0.9 \times 1.2C = 1.08C ] 成立。所以定价与成本的比为 ( 1.2:1 = 6:5 )。
技巧：利润问题中，售价 = 成本 × (1 + 利润率)。注意利润率的基准是成本。
例题14：比例与行程问题（进阶）
题目：甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度是乙车速度的 ( 1.2 ) 倍。相遇后，甲车继续行驶到B地，乙车继续行驶到A地，到达后立即返回。两车第二次相遇时，甲车比乙车多行 ( 100 ) 千米。求A、B两地的距离。
解析： 设乙车速度为 ( v )，则甲车速度为 ( 1.2v )。 第一次相遇时，两车所用时间相同，路程比等于速度比 ( 1.2:1 = 6:5 )。 设A、B两地距离为 ( S )。 第一次相遇时，甲车行驶 ( \frac{6}{11}S )，乙车行驶 ( \frac{5}{11}S )。 相遇后，两车继续行驶到终点并返回，第二次相遇时，两车共行驶 ( 3S )（因为第一次相遇后，两车各行驶 ( S ) 到终点，再返回，共 ( 2S )，加上第一次相遇前的 ( S )，总计 ( 3S )）。 第二次相遇时，甲车行驶的总路程为 ( \frac{6}{11}S + \frac{6}{11}S + \frac{6}{11}S = \frac{18}{11}S )（因为速度比不变，路程比仍为 ( 6:5 )）。 乙车行驶的总路程为 ( \frac{5}{11}S + \frac{5}{11}S + \frac{5}{11}S = \frac{15}{11}S )。 甲车比乙车多行 ( \frac{18}{11}S - \frac{15}{11}S = \frac{3}{11}S )。 根据题意，( \frac{3}{11}S = 100 )，解得 ( S = \frac{1100}{3} \approx 366.67 ) 千米。
技巧：多次相遇问题中，两车共行驶的路程是相遇次数的倍数。第一次相遇共行驶 ( S )，第二次相遇共行驶 ( 3S )，第三次相遇共行驶 ( 5S )，以此类推。
例题15：比例与工程问题（进阶）
题目：甲、乙、丙三队合作完成一项工程需要 ( 10 ) 天。如果甲、乙两队合作，需要 ( 15 ) 天；如果乙、丙两队合作，需要 ( 20 ) 天。求甲、乙、丙三队单独完成各需多少天。
解析： 设工程总量为 ( 1 )。 甲、乙、丙合作效率：( \frac{1}{10} )。 甲、乙合作效率：( \frac{1}{15} )。 乙、丙合作效率：( \frac{1}{20} )。 甲队效率 = 三队合作效率 - 乙、丙合作效率 = ( \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20} )。 丙队效率 = 三队合作效率 - 甲、乙合作效率 = ( \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30} )。 乙队效率 = 甲、乙合作效率 - 甲队效率 = ( \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{1}{60} )。 甲队单独做需 ( 20 ) 天，乙队需 ( 60 ) 天，丙队需 ( 30 ) 天。
技巧：工程问题中，效率相加减是常用方法。注意效率与时间的倒数关系。
例题16：比例与几何问题（进阶）
题目：一个圆柱与圆锥的体积比是 ( 3:1 )，底面积比是 ( 2:1 )，高之比是多少？
解析： 圆柱体积公式：( V{\text{柱}} = S{\text{柱}} \times h{\text{柱}} )。 圆锥体积公式：( V{\text{锥}} = \frac{1}{3} S{\text{锥}} \times h{\text{锥}} )。 设圆柱底面积为 ( 2S )，高为 ( h{\text{柱}} )；圆锥底面积为 ( S )，高为 ( h{\text{锥}} )。 体积比： [ \frac{V{\text{柱}}}{V{\text{锥}}} = \frac{2S \times h{\text{柱}}}{\frac{1}{3} S \times h{\text{锥}}} = \frac{2 h{\text{柱}}}{\frac{1}{3} h{\text{锥}}} = \frac{6 h{\text{柱}}}{h{\text{锥}}} = 3:1 ] 所以： [ \frac{6 h{\text{柱}}}{h{\text{锥}}} = 3 ] [ 6 h{\text{柱}} = 3 h{\text{锥}} ] [ h{\text{柱}} : h{\text{锥}} = 1:2 ] 高之比为 ( 1:2 )。
技巧：几何问题中，体积公式是关键。注意圆锥体积是圆柱的 ( \frac{1}{3} )。
例题17：比例与浓度问题（综合）
题目：有甲、乙两种盐水，甲盐水浓度为 ( 10\% )，乙盐水浓度为 ( 30\% )。要配制浓度为 ( 20\% ) 的盐水，需甲、乙盐水的质量比是多少？如果配制 ( 600 ) 克这样的盐水，需甲、乙盐水各多少克？
解析： 第一部分：求质量比。 设需甲盐水 ( x ) 克，乙盐水 ( y ) 克。 总盐量：( 0.1x + 0.3y = 0.2(x + y) )。 [ 0.1x + 0.3y = 0.2x + 0.2y ] [ 0.3y - 0.2y = 0.2x - 0.1x ] [ 0.1y = 0.1x ] [ x = y ] 质量比为 ( 1:1 )。
第二部分：配制 ( 600 ) 克。 需甲盐水 ( 300 ) 克，乙盐水 ( 300 ) 克。
技巧：浓度混合问题中，十字交叉法更简便。甲浓度 ( 10\% )，乙浓度 ( 30\% )，目标浓度 ( 20\% )。甲与乙的质量比为 ( (30\% - 20\%) : (20\% - 10\%) = 10:10 = 1:1 )。
五、比例问题的解题技巧总结
5.1 设比例系数 ( k )
对于涉及比例的问题，设比例系数 ( k ) 是通用方法。例如，( a:b = 3:2 )，设 ( a = 3k )，( b = 2k )。
5.2 抓住不变量
在比例问题中，常存在不变量，如年龄差、溶质质量、总路程等。抓住不变量可简化问题。
5.3 利用比例性质
交叉相乘法是解比例方程的基本方法。对于复杂比例，可转化为方程求解。
5.4 十字交叉法
适用于浓度混合、平均数混合等问题。快速求出质量比。
5.5 数形结合
对于几何比例问题，画图可帮助理解。例如，长方形、圆柱、圆锥等。
5.6 方程思想
对于综合性问题，设未知数列方程是有效方法。注意方程的合理性。
5.7 检验答案
解题后，将答案代入原题检验，确保合理。
六、常见错误与注意事项
6.1 比例顺序错误
比例 ( a:b ) 与 ( b:a ) 不同，注意顺序。
6.2 单位不统一
计算时确保单位一致，如时间、长度、质量等。
6.3 比例系数 ( k ) 的取值
( k ) 通常为正数，但在某些问题中（如年龄问题），需注意合理性。
6.4 利润率基准
利润率通常以成本为基准，注意区分。
6.5 年龄问题中的年龄差
年龄差不变，但比例变化时，需重新计算。
6.6 浓度问题中的溶质质量
混合时，溶质质量可能变化，注意是否加水或加盐。
七、练习题（附答案）
练习题1
已知 ( 2:3 = x:9 )，求 ( x )。
答案：( x = 6 )。
练习题2
一个分数的分子和分母的比是 ( 5:7 )，如果分子加上10，分母加上14，新分数的值是 ( \frac{1}{2} )，求原分数。
答案：原分数为 ( \frac{5}{7} )。
练习题3
甲、乙两数的平均数是 ( 30 )，甲、乙两数的比是 ( 4:5 )，求甲、乙两数。
答案：甲数 ( 24 )，乙数 ( 36 )。
练习题4
甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。甲车速度与乙车速度的比是 ( 5:3 )，相遇时甲车比乙车多行 ( 40 ) 千米。求A、B两地的距离。
答案：( 160 ) 千米。
练习题5
甲、乙两种糖，单价比为 ( 3:2 )，质量比为 ( 4:5 )。混合后，求混合糖的单价。
答案：混合单价为 ( \frac{22}{9} ) 倍的甲糖单价。
八、结语
比例问题是小升初数学的重点和难点。通过系统学习比例的基本概念、性质，掌握设比例系数、抓住不变量、利用比例性质等技巧，结合典型例题的解析，可以有效提升解题能力。建议学生多做练习，总结规律，逐步攻克比例问题。
注意：本文例题和练习题均基于常见题型设计，部分题目数据可能需调整以符合实际情况。解题时，务必仔细审题，确保数据合理。