小升初数学折叠图形难题解析与实战技巧提升

引言

小升初数学中，图形折叠问题是一个常见且重要的考点。这类题目通常考察学生的空间想象能力、几何知识的综合运用以及逻辑推理能力。折叠图形问题往往涉及对称、全等、相似等几何概念，是检验学生数学思维深度的重要题型。本文将系统解析折叠图形的常见类型，提供详细的解题思路和实战技巧，并通过典型例题帮助学生掌握这类问题的解决方法。

一、折叠图形的基本概念与性质

1.1 折叠的本质

折叠图形本质上是轴对称变换。当一张纸被折叠时，折叠线就是对称轴，折叠前后的图形关于这条轴对称。因此，折叠问题中最重要的性质是：

对应点的连线被对称轴垂直平分
对应线段相等
对应角相等

1.2 折叠中的常见几何关系

在折叠问题中，经常出现以下几何关系：

全等三角形：折叠后形成的三角形与原三角形部分全等
等腰三角形：折叠线上的点与对应点形成的三角形常为等腰三角形
勾股定理：在直角三角形中，折叠常构造出直角三角形，便于使用勾股定理

二、折叠图形的常见类型及解题策略

2.1 矩形中的折叠问题

矩形折叠是最常见的类型，通常涉及将矩形的一个角折叠到对边上。

例题1：如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，将矩形沿EF折叠，使点D落在AB边上的点D’处，求EF的长度。

解析：

理解折叠关系：折叠后，点D与点D’关于EF对称，因此ED=ED’，FD=FD’
设未知数：设ED=x，则ED’=x，AE=8-x
利用勾股定理：在Rt△AED’中，AD’=6，AE=8-x，ED’=x 根据勾股定理：(8-x)² + 6² = x² 解得：64 - 16x + x² + 36 = x² → 100 - 16x = 0 → x = 6.25
求EF：同理，设FD=y，则FD’=y，BF=6-y 在Rt△BFD’中，BF=6-y，BD’=8，FD’=y (6-y)² + 8² = y² → 36 - 12y + y² + 64 = y² → 100 - 12y = 0 → y ≈ 8.33
计算EF：EF = √(ED² + FD²) = √(6.25² + 8.33²) ≈ 10.42

技巧总结：

折叠问题中，设未知数是关键
勾股定理是解决直角三角形问题的利器
注意区分折叠前后的对应关系

2.2 正方形中的折叠问题

正方形折叠通常涉及对角线或边的折叠，常出现等腰直角三角形。

例题2：正方形ABCD边长为4，将△ABD沿BD折叠，使点A落在点C处，求折叠后图形的面积。

解析：

理解折叠：折叠后，点A与点C重合，BD是对称轴
分析图形：折叠后，△ABD与△CBD重合，形成菱形ABCD
计算面积：折叠后图形由两个全等的等腰直角三角形组成每个三角形的面积 = (¹⁄₂) × 4 × 4 = 8 总面积 = 8 × 2 = 16

技巧总结：

正方形折叠常形成等腰直角三角形
注意折叠后图形的整体形状变化
利用对称性简化计算

2.3 三角形中的折叠问题

三角形折叠通常涉及将三角形的一个顶点折叠到对边上。

例题3：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点A’处，且DE∥BC，求DE的长度。

解析：

理解折叠：折叠后，点A与点A’关于DE对称，因此AD=AD’，AE=AE’
利用平行线性质：DE∥BC，所以△ADE∽△ABC
设未知数：设AD=x，则AE=x，BD=5-x，CE=5-x
利用相似比：DE/BC = AD/AB = x/5 所以DE = (x/5) × 6 = 1.2x
利用勾股定理：在△ABC中，高AH = √(5² - 3²) = 4 在△ADE中，高 = 4 - (x/5)×4 = 4 - 0.8x 根据勾股定理：(1.2x)² + (4 - 0.8x)² = x² 解得：1.44x² + 16 - 6.4x + 0.64x² = x² → 1.08x² - 6.4x + 16 = 0 解方程得：x ≈ 3.33，所以DE ≈ 4

技巧总结：

三角形折叠常结合相似三角形性质
平行线是重要的辅助条件
注意折叠后对应点的位置关系

三、折叠图形的实战技巧提升

3.1 画图与标注技巧

准确画图：根据题意画出折叠前后的图形，用不同颜色或线型区分
标注对应点：明确折叠前后的对应点，用相同字母加撇号表示（如D和D’）
标注已知条件：在图上标出所有已知长度和角度
寻找隐藏条件：折叠常产生等腰三角形、全等三角形等隐藏条件

3.2 设未知数的技巧

选择合适的未知数：通常设折叠线上的点到顶点的距离
利用对称性：折叠后对应线段相等，可以建立方程
多设未知数：复杂问题可能需要设多个未知数，但要尽量减少未知数个数

3.3 构造辅助线的技巧

连接对应点：连接折叠前后的对应点，常得到对称轴的垂线
作高线：在三角形中作高线，便于使用勾股定理
延长线段：有时需要延长线段构造直角三角形

3.4 方程思想的应用

折叠问题中，方程思想是核心解题策略。常见方程类型：

勾股定理方程：在直角三角形中建立方程
相似比例方程：利用相似三角形的比例关系
面积方程：利用面积相等建立方程

四、典型例题详解

例题4：综合折叠问题

题目：如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形沿EF折叠，使点D落在AB边上的点D’处，点C落在AB边上的点C’处，且D’C’∥BC，求EF的长度。

解析：

分析图形：折叠后，点D与D’重合，点C与C’重合，EF是对称轴
设未知数：设ED=x，则ED’=x，AE=6-x 设FD=y，则FD’=y，BF=8-y
利用平行条件：D’C’∥BC，所以∠D’C’A = ∠C’BC = 90°
利用勾股定理：在Rt△AED’中：(6-x)² + 8² = x² → 36 - 12x + x² + 64 = x² → 100 - 12x = 0 → x = ²⁵⁄₃ ≈ 8.33 在Rt△BFC’中：(8-y)² + 6² = y² → 64 - 16y + y² + 36 = y² → 100 - 16y = 0 → y = 6.25
计算EF：EF = √(x² + y²) = √((²⁵⁄₃)² + (²⁵⁄₄)²) = √(⁶²⁵⁄₉ + ⁶²⁵⁄₁₆) = √(625×(16+9)/(9×16)) = √(625×25/144) = (25×5)/12 = ¹²⁵⁄₁₂ ≈ 10.42

例题5：动态折叠问题

题目：正方形ABCD边长为4，点P在BC边上移动，将△ABP沿AP折叠，使点B落在点B’处，当B’在CD边上时，求BP的长度。

解析：

理解动态过程：点P在BC上移动，折叠后B’在CD上
设未知数：设BP=x，则PC=4-x
利用折叠性质：AB=AB’=4，∠AB’P=∠ABP=90°
分析位置：B’在CD上，所以CB’=4-x
利用勾股定理：在Rt△AB’P中，AB’=4，B’P=BP=x 在Rt△CB’P中，CB’=4-x，B’P=x 根据勾股定理：(4-x)² + x² = 4² → 16 - 8x + x² + x² = 16 → 2x² - 8x = 0 → x(x-4)=0 解得x=0或x=4，但x=0时B’与C重合，x=4时B’与D重合，都不符合题意
重新分析：实际上，当B’在CD上时，∠AB’P=90°，所以AB’⊥B’P 在正方形中，AB’与CD不垂直，所以需要重新考虑
正确解法：设BP=x，则B’P=x，AB’=4 在Rt△AB’P中，AP² = AB’² + B’P² = 16 + x² 在Rt△ABP中，AP² = AB² + BP² = 16 + x² 所以AP² = 16 + x² 又因为B’在CD上，所以CB’=4-x 在Rt△CB’P中，CP² = CB’² + B’P² = (4-x)² + x² 但CP=4-x，所以(4-x)² = (4-x)² + x² → x²=0 → x=0 这说明只有当P与C重合时，B’才在CD上，此时BP=0

技巧总结：

动态折叠问题需要分析临界位置
注意边界条件的验证
有时需要分类讨论不同情况

五、折叠图形的常见错误与避免方法

5.1 常见错误类型

对应关系错误：混淆折叠前后的对应点
忽略隐含条件：如折叠产生的等腰三角形、全等三角形
计算错误：在勾股定理或相似比例计算中出错
图形理解错误：对折叠后的图形形状判断错误

5.2 避免方法

仔细审题：明确折叠的方向和对应关系
规范画图：用不同颜色或线型区分折叠前后
逐步验证：每一步推理都要有依据
检查答案：将答案代入原题验证合理性

六、实战训练题

训练题1

矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿EF折叠，使点D落在AB边上的点D’处，且D’是AB的中点，求EF的长度。

提示：先求ED和FD，再用勾股定理求EF。

训练题2

正方形ABCD边长为4，将△ABD沿BD折叠，使点A落在点C处，求折叠后图形的周长。

提示：折叠后图形是菱形，注意边长的变化。

训练题3

在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点A’处，且DE∥BC，求DE的长度。

提示：利用相似三角形和勾股定理。

七、总结

折叠图形问题是小升初数学中的重要考点，掌握这类问题的关键在于：

理解折叠的轴对称本质，明确对应关系
熟练运用勾股定理，建立方程求解
灵活运用相似三角形，处理复杂比例关系
规范画图与标注，避免理解错误
多做练习，积累解题经验

通过系统学习和大量练习，学生可以逐步提高解决折叠图形问题的能力，为小升初数学打下坚实基础。记住，几何问题的核心是数形结合，将图形关系转化为代数方程，是解决折叠问题的金钥匙。