小学五年级数学质数合数因数倍数判断技巧与速记口诀详解

在小学五年级数学中，质数、合数、因数和倍数是基础而重要的概念。这些概念不仅在日常生活中应用广泛，更是后续学习分数、代数等高级数学知识的基石。掌握这些概念的判断技巧和速记口诀，能帮助学生快速准确地解决问题，提高数学成绩。本文将详细解析这些概念的判断技巧，并提供实用的速记口诀，帮助学生轻松掌握。

一、因数与倍数的基本概念与判断技巧

1.1 因数的定义与判断方法

因数是指能整除一个数的整数。例如，6的因数有1、2、3、6，因为这些数都能整除6而没有余数。判断一个数是否是另一个数的因数，最直接的方法是进行除法运算，看是否能整除。

判断技巧：

从小到大试除：从1开始，依次尝试能否整除目标数，直到目标数的平方根为止。例如，找36的因数时，可以依次试除1、2、3、4、6、9、12、18、36，但实际只需试除到6（因为6×6=36）。
成对找出：如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数。例如，找36的因数时，发现2是因数，那么18（36÷2）也是因数。

示例：找出24的所有因数。

试除1：24÷1=24，整除，所以1和24都是因数。
试除2：24÷2=12，整除，所以2和12都是因数。
试除3：24÷3=8，整除，所以3和8都是因数。
试除4：24÷4=6，整除，所以4和6都是因数。
试除5：24÷5=4.8，不整除，跳过。
继续试除到√24≈4.9，所以只需试除到4。
因此，24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。

1.2 倍数的定义与判断方法

倍数是指一个数能被另一个数整除时，这个数就是另一个数的倍数。例如，12是3的倍数，因为12÷3=4，整除。判断一个数是否是另一个数的倍数，通常使用除法或末位判断法。

判断技巧：

直接除法：用目标数除以给定的数，看是否能整除。例如，判断25是否是5的倍数，25÷5=5，整除，所以是。
末位判断法（针对特定数的倍数）：
- 2的倍数：个位是0、2、4、6、8。
- 5的0倍数：个位是0或5。
- 10的倍数：个位是0。
- 3的倍数：各位数字之和是3的倍数。例如，判断246是否是3的倍数，2+4+6=12，12是3的倍数，所以246是3的倍数。
- 9的倍数：各位数字之和是9的倍数。
- 4的倍数：末两位数是4的倍数。例如，判断124是否是4的倍数，24÷4=6，整除，所以是。
- 8的倍数：末三位数是8的倍数。
- 11的倍数：奇位数字之和与偶位数字之和的差是11的倍数（包括0）。例如，判断121是否是11的倍数，奇位和：1+1=2，偶位和：2，差为0，是11的倍数。

示例：判断以下数是否是3的倍数。

123：1+2+3=6，6是3的倍数，所以是。
456：4+5+6=15，15是3的倍数，所以是。
789：7+8+9=24，24是3的倍数，所以是。
101：1+0+1=2，2不是3的倍数，所以不是。

1.3 因数与倍数的关系

因数和倍数是相对的。如果a是b的因数，那么b是a的倍数。例如，3是12的因数，12是3的倍数。注意，讨论因数和倍数时，通常不考虑0和负数，只讨论正整数。

速记口诀：

因数倍数相对生，a是b因b倍a。
找因数，从小到大试除，成对找，到平方根。
判断倍数用除法，特殊数有巧方法：2、5看末位，3、9看和差，4、8看末两位三位，11看奇偶差。

1.4 因数与倍数的常见题型与技巧

在实际应用中，因数和倍数常用于解决最大公因数、最小公倍数等问题。例如，求两个数的最大公因数，可以用列举法或短除法；求最小公倍数，可以用列举法或公式法。

示例：求12和18的最大公因数和最小公倍数。

最大公因数：
- 12的因数：1、2、3、4、6、12
- 18的因数：1、2、3、6、9、18
- 公因数：1、2、3、6
- 最大公因数：6
最小公倍数：
- 12的倍数：12、24、36、48、60、72、…
- 18的倍数：18、36、54、72、…
- 公倍数：36、72、…
- 最小公倍数：36

技巧：对于较大的数，使用短除法更高效。

短除法求最大公因数：用12和18的公因数连续除，直到互质，然后把左边的因数相乘。12和18 ÷2=6和9，6和9 ÷3=2和3，2和3互质，所以最大公因数=2×3=6。
短除法求最小公倍数：用12和18的公因数连续除，直到互质，然后把左边的因数和最后的商相乘。12和18 ÷2=6和9，6和9 ÷3=2和3，所以最小公倍数=2×3×2×3=36。

二、质数与合数的判断技巧

2.1 质数与合数的定义

质数（也叫素数）是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。例如，2、3、5、7、11等都是质数。合数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外还有其他因数的数。例如，4、6、8、9、10等都是合数。注意：1既不是质数也不是合数；2是唯一的偶质数。

2.2 判断质数的技巧

判断一个数是否是质数，最直接的方法是试除法：从2开始，依次试除到该数的平方根，如果都不能整除，则该数是质数。

判断步骤：

如果数小于2，不是质数。
如果数是2，是质数。
如果数是偶数且大于2，不是质数。
从3开始，依次试除奇数（3、5、7、…）到该数的平方根，如果都不能整除，则是质数。

示例：判断17是否是质数。

17>2，不是偶数。
试除到√17≈4.1，所以试除2、3。
17÷2=8.5，不整除；17÷3≈5.67，不整除。
所以17是质数。

示例：判断21是否是质数。

21>2，不是偶数。
21÷3=7，整除，所以21不是质数（是合数）。

2.3 判断合数的技巧

判断合数可以直接用质数的判断方法，如果一个数不是质数且大于1，则是合数。或者，直接找除了1和它本身以外的因数，如果能找到，则是合数。

示例：判断25是否是质数。

25÷5=5，整除，所以25不是质数，是合数。

2.4 100以内质数速记口诀

100以内的质数有25个，记住它们对五年级学生非常重要。以下是常用的速记口诀（按十位分组）：

二质数：2
三质数：3
五质数：5
七质数：7
十一质数：11
十三质数：13
十七质数：17
十九质数：19
二三质数：23
二九质数：29
三一质数：31
三七质数：37
四一质数：41
四三质数：43
四七质数：47
五三质数：53
五九质数：59
六一质数：61
六七质数：67
七一质数：71
七三质数：73
七九质数：79
八三质数：83
八九质数：89
九七质数：97

分组记忆口诀：

2、3、5、7、11（开头小质数）
13、17、19（teen质数）
23、29（20s质数）
31、37（30s质数）
41、43、47（40s质数）
53、59（50s质数）
61、67（60s质0数）
71、73、79（70s质数）
83、89（80s质数）
97（90s质数）

另一个口诀（谐音记忆）： “2、3、5、7和11，13、17、19记心中；23、29、31、37，41、43、47；53、59、61、67，71、73、79；83、89、97，质数全部在这里。”

2.5 常见误区与注意事项

1不是质数也不是合数：这是学生常犯的错误，必须强调。
2是唯一的偶质数：所有其他偶数都是合数（因为能被2整除）。
质数与因数的关系：质数只有两个因数，合数至少有三个因数。
判断大数时：只需试除到平方根，减少计算量。

三、综合应用与实例解析

3.1 综合判断题

题目：判断以下数是质数还是合数，并找出其因数：22、31、49、53。

22：偶数，大于2，所以是合数。因数：1、2、11、22。
31：试除2、3、5（√31≈5.5），都不能整除，所以是质数。因数：1、31。
49：49÷7=7，整除，所以是合数。因数：1、7、49。
53：试除2、3、5、7（√53≈7.28），都不能整除，所以是质数。因数：1、53。

3.2 因数与倍数的综合应用

题目：一个数既是24的因数，又是6的倍数，这个数可能是多少？

24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
6的倍数：6、12、18、24、30、…
公共数：6、12、24
所以这个数可能是6、12或24。

3.3 质数与因数的结合

题目：把42分解质因数。

分解质因数是指把一个数写成几个质数相乘的形式。
42÷2=21，21÷3=7，7是质数。
所以42=2×3×7。

技巧：用短除法分解质因数。

42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 3 = 7
7 ÷ 7 = 1
所以42=2×3×7。

四、速记口诀总结

4.1 因数与倍数口诀

因数：从小到大试除，成对找出，到平方根为止。
倍数：2、5看末位，3、9看和差，4、8看末两位三位，11看奇偶差。
关系：a是b因，b是a倍；讨论正整数，0要排除。

4.2 质数与合数口诀

质数：大于1，只有1和本身两个因数。
合数：大于1，除了1和本身还有其他因数。
判断：试除到平方根，偶数（除2）都是合数。
100以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
口诀：2、3、5、7和11，13、17、19；23、29、31、37；41、43、47；53、59、61、67；71、73、79；83、89、97。

4.3 综合应用口诀

分解质因数：短除法，从最小质数开始除，直到商为质数。
找因数：试除法，成对找。
判断倍数：用末位、和差等巧方法。
判断质数：试除到平方根，偶数（除2）都不是质数。

通过以上详细的技巧和口诀，小学五年级学生可以轻松掌握质数、合数、因数和倍数的概念与判断方法。多加练习，结合实际问题应用这些技巧，数学能力一定会得到显著提升。记住，数学是练习出来的，多做题、多总结，才能熟能生巧！# 小学五年级数学质数、合数、因数、倍数判断技巧与速记口诀详解

一、基础概念全面解析

1.1 因数的概念与核心判断技巧

因数是指能整除一个数的整数。例如，6的因数有1、2、3、6，因为这些数都能整除6而没有余数。

核心判断技巧：

试除法：从1开始，依次尝试能否整除目标数，直到目标数的平方根为止
成对找出：如果a是n的因数，那么n/a也是n的因数
平方根原则：只需试除到目标数的平方根，可大幅减少计算量

详细示例：找出36的所有因数

步骤1：计算√36=6，只需试除到6
步骤2：依次试除：
  36÷1=36 → 1和36都是因数
  36÷2=18 → 2和18都是因数
  36÷3=12 → 3和12都是因数
  36÷4=9 → 4和9都是因数
  36÷5=7.2 → 不整除，跳过
  36÷6=6 → 6是因数（重复）
步骤3：整理得因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36

1.2 倍数的概念与判断技巧

倍数是指一个数能被另一个数整除时，这个数就是另一个数的倍数。

倍数判断技巧表：

倍数类型	判断方法	示例
2的倍数	个位是0,2,4,6,8	124, 360
5的倍数	个位是0或5	125, 340
3的倍数	各位数字之和是3的倍数	246(2+4+6=12)
9的倍数	各位数字之和是9的倍数	243(2+4+3=9)
4的倍数	末两位数是4的倍数	124(24÷4=6)
8的倍数	末三位数是8的倍数	1124(124÷8=15.5)
11的倍数	奇偶位数字和差是11的倍数	121(1+1-2=0)

详细示例：判断1236是否是3、4、9、11的倍数

3的倍数：1+2+3+6=12，12÷3=4 → 是3的倍数
4的倍数：末两位36，36÷4=9 → 是4的倍数
9的倍数：1+2+3+6=12，12÷9=1.33 → 不是9的倍数
11的倍数：奇位和(1+3=4)，偶位和(2+6=8)，差4-8=-4，不是11的倍数

1.3 质数与合数的精确定义

质数：大于1的自然数，只有1和它本身两个因数合数：大于1的自然数，除了1和它本身还有其他因数 特殊规定：1既不是质数也不是合数；2是唯一的偶质数

质数合数对比表：

类型	因数个数	示例	常见误区
质数	恰好2个	2,3,5,7,11	1不是质数
合数	至少3个	4,6,8,9,10	2是质数
特殊数	1个因数	1	1既不是质也不是合

二、质数判断的系统方法

2.1 试除法详细步骤

质数判断流程：

如果n → 不是质数
如果n=2 → 是质数
如果n是偶数且n>2 → 不是质数
从3开始，试除奇数到√n，都不能整除 → 是质数

详细示例：判断97是否是质数

步骤1：97>2，不是偶数
步骤2：计算√97≈9.8，只需试除到9
步骤3：试除奇数：
  97÷3≈32.33 → 不整除
  97÷5=19.4 → 不整除
  97÷7≈13.86 → 不整除
  97÷9≈10.78 → 不整除
步骤4：结论：97是质数

2.2 100以内质数速记口诀（分组记忆法）

第一组（基础质数）：

2、3、5、7是基础，
11、13、17、19要记住。

第二组（20-50）：

23、29、31、37，
41、43、47别漏掉。

第三组（50-100）：

53、59、61、67，
71、73、79、83，
89、97最后记。

完整口诀（谐音版）：

"2、3、5、7和11，13、17、19记心中；
23、29、31、37，41、43、47；
53、59、61、67，71、73、79；
83、89、97，质数全部在这里。"

2.3 常见质数判断误区

误区1：认为所有奇数都是质数

反例：9,15,21,25,27,33,35,39,45,49,51,55,57,63,65,69,75,77,81,85,87,91,93,95,99都是合数

误区2：忘记1的特殊性

1既不是质数也不是合数

误区3：试除时忘记平方根原则

判断101时，√101≈10.05，只需试除到10，而不是试除到101

三、综合应用与实战技巧

3.1 因数倍数综合题型

题型1：一个数既是24的因数，又是6的倍数，这个数可能是多少？

24的因数：1,2,3,4,6,8,12,24
6的倍数：6,12,18,24,30,...
公共数：6,12,24
答案：6,12或24

题型2：用0,1,2,3组成没有重复数字的四位数，其中是2的倍数的最大数是多少？

分析：2的倍数要求个位是0,2
最大数：3210（个位0）或3120（个位0）或3201（个位1不行）
实际：3210是2的倍数

3.2 质数与合数的综合应用

题型1：把84分解质因数

方法1：短除法
84 ÷ 2 = 42
42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 3 = 7
7 ÷ 7 = 1
所以84=2×2×3×7

方法2：逐步分解
84=4×21=2×2×3×7

题型2：判断197是质数还是合数

√197≈14.03，试除到14
试除质数：2,3,5,7,11,13
197÷2=98.5 → 不整除
197÷3≈65.67 → 不整除
197÷5=39.4 → 不整除
197÷7≈28.14 → 不整除
197÷11≈17.91 → 不整除
197÷13≈15.15 → 不整除
结论：197是质数

3.3 特殊数字的快速判断

判断末尾带0的数：

10的倍数：末尾有0
100的倍数：末尾有两个0
1000的倍数：末尾有三个0

判断平方数：

4的倍数：末两位是4的倍数
9的倍数：各位数字和是9的倍数
25的倍数：末两位是25的倍数（00,25,50,75）

四、记忆口诀与学习策略

4.1 核心口诀总结

因数口诀：

找因数，用试除，从小到大到平方根；
成对找，不遗漏，1和本身要记牢。

倍数口诀：

2、5看末位，3、9看和差；
4看末两位，8看末三位；
11看奇偶差，其他用除法。

质数口诀：

质数合数分清楚，1要排除2特殊；
判断质数用试除，到平方根就能定；
100以内25个，分组记忆效率高。

4.2 高效学习策略

制作质数表：将100以内质数打印贴在学习区
每日练习：每天判断5-10个数的性质
游戏化学习：用卡片玩因数倍数配对游戏
错题本：记录常错的判断题，分析原因

4.3 常见考试题型应对

选择题：快速排除法

看到偶数（除2）→ 直接选合数
看到个位是5（除5）→ 直接选合数
看到各位和是3的倍数 → 可能是合数

判断题：反例法

如果命题是”所有奇数都是质数”，举反例9,15,21等

填空题：系统法

找因数：试除法系统列出
分解质因数：短除法系统分解

五、实战演练与答案解析

5.1 综合练习题

练习1：判断并分类：17,22,31,49,53,68,71,87,91,97

质数：17,31,53,71,97
合数：22,49,68,87,91
判断过程：
17: √17≈4.1，试除2,3 → 质数
22: 偶数 → 合数
31: √31≈5.6，试除2,3,5 → 质数
49: 7×7=49 → 合数
53: √53≈7.3，试除2,3,5,7 → 质数
68: 偶数 → 合数
71: √71≈8.4，试除2,3,5,7 → 质数
87: 8+7=15，是3的倍数 → 合数
91: 91÷7=13 → 合数
97: √97≈9.8，试除2,3,5,7,9 → 质数

练习2：求120的所有因数

√120≈10.95，试除到10
120÷1=120 → 1,120
120÷2=60 → 2,60
120÷3=40 → 3,40
120÷4=30 → 4,30
120÷5=24 → 5,24
120÷6=20 → 6,20
120÷8=15 → 8,15
120÷10=12 → 10,12
因数：1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120

练习3：用1,2,3,4,5组成三位数，其中是3的倍数的最大数是多少？

3的倍数要求：各位数字和是3的倍数
最大数：543（5+4+3=12，是3的倍数）
其他可能：534,453,435,354,345
最大：543

5.2 易错点强化训练

易错点1：0的处理

0不是因数（因为任何数除以0无意义）
0不是倍数（因为0÷任何数=0，但通常不讨论0的倍数）

易错点2：1的特殊性

1不是质数也不是合数
1是任何数的因数
任何数（除0）都是1的倍数

易错点3：大数判断

判断101：√101≈10.05，试除到10即可
判断197：√197≈14.03，试除到14即可

六、学习建议与进阶方向

6.1 每日练习计划

周一至周五：

每天判断5个数的性质（质数/合数）
每天找1个数的所有因数
每天判断2个数的倍数关系

周末：

复习本周错题
尝试分解3个数的质因数
解决1-2道综合应用题

6.2 进阶技巧（为六年级准备）

最大公因数：用短除法快速求解
最小公倍数：用公式法或短除法
互质数：理解并判断两个数是否互质
质数表扩展：记忆200以内的质数

6.3 家长辅导建议

不要死记硬背：理解概念比记忆更重要
多举生活例子：如分糖果理解因数
鼓励试错：让孩子自己发现判断规律
定期复习：每周回顾一次核心概念

通过系统学习以上内容，小学五年级学生完全可以熟练掌握质数、合数、因数、倍数的判断技巧。记住，数学学习的关键在于理解概念、掌握方法、勤加练习。希望这份详细的指南能帮助你在数学学习中取得优异成绩！