引言

“信号与系统”是电子信息、通信工程、自动化及计算机科学等专业的核心基础课程。它不仅为后续的数字信号处理、通信原理等课程打下理论基础，也是研究生入学考试中的重点和难点。本篇文章旨在为广大学子提供一份详尽的题库及答案详解，内容涵盖从基础概念到傅里叶变换、拉普拉斯变换及Z变换的典型例题，并汇总部分考研真题。通过系统性的练习和解析，帮助读者深入理解核心概念，掌握解题技巧。

第一部分：信号与系统基础概念

1.1 信号的分类与性质

核心概念：信号可以按照多种方式分类，如连续/离散、周期/非周期、能量/功率信号等。理解这些分类及其数学表达是解题的基础。

典型例题 1.1：判断下列信号是周期信号还是非周期信号，并求出其周期（如果是周期信号）。

  1. \(x(t) = \sin(2t) + \cos(3t)\)
  2. \(x[n] = \sin(\frac{3\pi}{4}n) + \cos(\frac{\pi}{2}n)\)

答案详解：

  • 对于连续时间信号 \(x(t) = \sin(2t) + \cos(3t)\)：

    • 信号由两个分量组成：\(\sin(2t)\) 和 \(\cos(3t)\)。
    • \(\sin(2t)\) 的角频率 \(\omega_1 = 2\) rad/s，周期 \(T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = \pi\)。
    • \(\cos(3t)\) 的角频率 \(\omega_2 = 3\) rad/s，周期 \(T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2} = \frac{2\pi}{3}\)。
    • 判断周期性：需要找到 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的最小公倍数。\(\frac{T_1}{T_2} = \frac{\pi}{2\pi/3} = \frac{3}{2}\)，这是一个有理数。因此，该信号是周期信号。
    • 基波周期 \(T\) 是 \(T_1\) 和 \(T_2\) 的最小公倍数，即 \(T = 3T_1 = 2T_2 = 3\pi\)。
    • 结论：周期信号，周期 \(T = 3\pi\)。

  • 对于离散时间信号 \(x[n] = \sin(\frac{3\pi}{4}n) + \cos(\frac{\pi}{2}n)\)：

    • \(\sin(\frac{3\pi}{4}n)\) 的基本周期 \(N_1\) 满足 \(\frac{3\pi}{4}N_1 = 2\pi k\)。取 \(k=3\)，得 \(N_1 = 8\)。
    • \(\cos(\frac{\pi}{2}n)\) 的基本周期 \(N_2\) 满足 \(\frac{\pi}{2}N_2 = 2\pi k\)。取 \(k=1\)，得 \(N_2 = 4\)。
    • 判断周期性：\(\frac{N_1}{N_2} = \frac{8}{4} = 2\)，是有理数。
    • 基波周期 \(N\) 是 \(N_1\) 和 \(N_2\) 的最小公倍数，即 \(N = 8\)。
    • 结论：周期信号，周期 \(N = 8\)。

1.2 系统性质

核心概念：线性时不变（LTI）系统是信号与系统分析的核心。必须熟练判断系统的线性（齐次性、叠加性）、时不变性、因果性和稳定性。

典型例题 1.2：判断下列微分方程描述的系统是否为LTI系统，并判断其因果性和稳定性。 \(y'(t) + 2y(t) = x(t-1)\)

答案详解：

  • 线性（Linearity）：
    • 设输入 \(x_1(t)\) 产生输出 \(y_1(t)\)，输入 \(x_2(t)\) 产生输出 \(y_2(t)\)。
    • 对于输入 \(ax_1(t) + bx_2(t)\)，代入方程：\(\frac{d}{dt}[ay_1+by_2] + 2[ay_1+by_2] = ax_1(t-1) + bx_2(t-1)\)。
    • 由于微分和加法是线性运算，方程成立。因此系统是线性的。
  • 时不变性（Time-Invariance）：
    • 若输入延时 \(t_0\)，即 \(x(t-t_0)\)，输出应为 \(y(t-t_0)\)。
    • 将输入设为 \(x(t-t_0)\)，方程变为 \(y'(t) + 2y(t) = x(t-t_0-1)\)。
    • 若输出为 \(y(t-t_0)\)，其导数为 \(y'(t-t_0)\)，代入方程左边得 \(y'(t-t_0) + 2y(t-t_0)\)，这正是 \(x((t-t_0)-1)\) 的响应。
    • 因此系统是时不变的。
  • 因果性（Causality）：
    • \(t\) 时刻的输出 \(y(t)\) 取决于 \(t-1\) 时刻的输入 \(x(t-1)\)。输出不依赖于未来的输入。因此是因果系统。
  • 稳定性（Stability）：
    • 对于连续时间LTI系统，稳定性意味着冲激响应 \(h(t)\) 绝对可积。
    • 该系统是一阶线性常系数微分方程，其冲激响应由齐次解和特解组成。由于特征根为 \(-2\)（负实部），冲激响应随时间衰减，满足绝对可积条件。
    • 因此系统是稳定的。

第二部分：傅里叶变换（Fourier Transform）

2.1 连续时间傅里叶变换（CTFT）

核心概念：CTFT将时域信号转换到频域，用于分析信号的频率成分。掌握常见信号的变换对和性质（时移、频移、卷积）至关重要。

典型例题 2.1：求信号 \(x(t) = e^{-2|t|}\) 的傅里叶变换 \(X(j\omega)\)，并画出幅度谱。

答案详解： 根据傅里叶变换定义： $\( X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|t|} e^{-j\omega t} dt \)\( 将积分区间分为 \)(-\infty, 0]\( 和 \)[0, \infty)\(： \)\( X(j\omega) = \int_{-\infty}^{0} e^{2t} e^{-j\omega t} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-2t} e^{-j\omega t} dt \)\( \)\( = \int_{-\infty}^{0} e^{(2-j\omega)t} dt + \int_{0}^{\infty} e^{-(2+j\omega)t} dt \)\( 计算积分： \)\( = \left[ \frac{e^{(2-j\omega)t}}{2-j\omega} \right]_{-\infty}^{0} + \left[ \frac{e^{-(2+j\omega)t}}{-(2+j\omega)} \right]_{0}^{\infty} \)\( \)\( = \frac{1}{2-j\omega} (1 - 0) + \frac{1}{2+j\omega} (0 - (-1)) \)\( \)\( = \frac{1}{2-j\omega} + \frac{1}{2+j\omega} = \frac{2+j\omega + 2-j\omega}{(2-j\omega)(2+j\omega)} = \frac{4}{4+\omega^2} \)\( **结论**：\)X(j\omega) = \frac{4}{4+\omega^2}$。这是一个实偶函数，幅度谱呈钟形。

2.2 周期信号的傅里叶级数与变换

典型例题 2.2（考研真题风格）：已知周期信号 \(x(t)\) 如下图所示（方波，周期 \(T=4\)，幅度 \(\pm 1\)），求其傅里叶级数系数 \(a_k\) 和傅里叶变换 \(X(j\omega)\)。

答案详解：

  • 步骤 1：求直流分量 \(a_0\) $\( a_0 = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) dt = \frac{1}{4} \left( \int_{-1}^{1} 1 dt + \int_{1}^{2} (-1) dt + \int_{-2}^{-1} (-1) dt \right) = 0 \)$
  • 步骤 2：求指数型傅里叶级数系数 \(c_k\) $\( c_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt \)\( 其中 \)\omega_0 = \frac{2\pi}{T} = \frac{\pi}{2}\(。 \)\( c_k = \frac{1}{4} \left( \int_{-1}^{1} e^{-jk\frac{\pi}{2}t} dt - \int_{1}^{2} e^{-jk\frac{\pi}{2}t} dt - \int_{-2}^{-1} e^{-jk\frac{\pi}{2}t} dt \right) \)\( 利用对称性，中间积分为 \)\frac{2\sin(k\pi/2)}{k\pi/2}\(，两边积分为 \)e^{-jk\pi/2} \frac{2\sin(k\pi/2)}{k\pi/2}\(（需仔细计算边界）。 简化计算：利用三角形式 \)x(t) = \sum_{k=1,3,5…}^{\infty} b_k \sin(k\omega_0 t)\(。 \)\( b_k = \frac{4}{T} \int_{0}^{T/2} x(t) \sin(k\omega_0 t) dt = \frac{4}{4} \int_{0}^{2} x(t) \sin(\frac{k\pi}{2}t) dt = \int_{0}^{1} \sin(\frac{k\pi}{2}t) dt - \int_{1}^{2} \sin(\frac{k\pi}{2}t) dt \)\( \)\( = \left[ -\frac{2}{k\pi}\cos(\frac{k\pi}{2}t) \right]_0^1 - \left[ -\frac{2}{k\pi}\cos(\frac{k\pi}{2}t) \right]_1^2 \)\( \)\( = -\frac{2}{k\pi}(\cos\frac{k\pi}{2} - 1) + \frac{2}{k\pi}(\cos(k\pi) - \cos\frac{k\pi}{2}) \)\( \)\( = \frac{4}{k\pi} \quad (k \text{为奇数}) \)\( 所以，\)x(t) = \sum_{k=1,3,5…}^{\infty} \frac{4}{k\pi} \sin(\frac{k\pi}{2}t)$。
  • 步骤 3：求傅里叶变换 \(X(j\omega)\) 周期信号的傅里叶变换是一系列冲激串： $\( X(j\omega) = 2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k \delta(\omega - k\omega_0) \)\( 由于 \)x(t)\( 是实奇函数，\)c_k\( 是纯虚数，\)ck = -j \frac{2}{k\pi}\( (对于奇数 \)k\()，\)c{-k} = -ck^*\(。 \)$ X(j\omega) = 2\pi \sum{k=-\infty, k \neq 0}^{\infty} (-j \frac{2}{k\pi}) \delta(\omega - \frac{k\pi}{2}) $$

第三部分：拉普拉斯变换（Laplace Transform）

3.1 系统函数与零极点分析

核心概念：拉普拉斯变换是分析LTI连续时间系统的有力工具。系统函数 \(H(s)\) 的零极点分布决定了系统的频率响应和稳定性。

典型例题 3.1：某LTI系统的微分方程为 \(y''(t) - y'(t) - 2y(t) = x(t)\)。

  1. 求系统函数 \(H(s)\)。
  2. 画出零极点图。
  3. 判断系统的稳定性。
  4. 若系统是稳定的，求其频率响应 \(H(j\omega)\)。

答案详解：

  1. 求 \(H(s)\)： 对微分方程两边进行拉普拉斯变换（假设零初始状态）： $\( s^2 Y(s) - s Y(s) - 2 Y(s) = X(s) \)\( \)\( H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 - s - 2} \)$
  2. 零极点：
    • 分子为1，无零点。
    • 分母 \(s^2 - s - 2 = (s-2)(s+1)\)。
    • 极点：\(p_1 = 2, p_2 = -1\)。
    • 零极点图：在s平面上，实轴上 \(s=2\) 和 \(s=-1\) 处画叉（×）。
  3. 稳定性判断：
    • 极点 \(p_1 = 2\) 位于s平面的右半平面（RHP）。
    • 因此，系统是不稳定的。
    • 注：如果是考研题，通常会要求计算冲激响应 \(h(t) = e^{2t}u(t) - e^{-t}u(t)\)，由于 \(e^{2t}\) 发散，验证了不稳定。
  4. 频率响应（假设极点全在左半平面，如方程改为 \(y''+y'+2y\)）：
    • 若 \(H(s) = \frac{1}{s^2+s+2}\)，极点 \(s = -0.5 \pm j\sqrt{1.75}\)。
    • 频率响应 \(H(j\omega) = H(s)|_{s=j\omega} = \frac{1}{(j\omega)^2 + j\omega + 2} = \frac{1}{2-\omega^2 + j\omega}\)。
    • 幅度响应 \(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{(2-\omega^2)^2 + \omega^2}}\)。

3.2 反拉普拉斯变换与部分分式展开

典型例题 3.2：求 \(X(s) = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)}\) 的逆变换 \(x(t)\)。

答案详解：

  1. 部分分式展开： $\( X(s) = \frac{A}{s+1} + \frac{B}{s+2} \)$
  2. 求系数 A 和 B：
    • 通分：\(s+3 = A(s+2) + B(s+1)\)。
    • 令 \(s = -1\)：\(-1+3 = A(-1+2) \Rightarrow A = 2\)。
    • 令 \(s = -2\)：\(-2+3 = B(-2+1) \Rightarrow B = -1\)。
  3. 逆变换： $\( X(s) = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2} \)\( 查表得： \)\( x(t) = (2e^{-t} - e^{-2t})u(t) \)$

第四部分：Z变换（Z-Transform）

4.1 离散系统分析与收敛域（ROC）

核心概念：Z变换是离散时间信号的拉普拉斯变换。收敛域（ROC）对于确定逆变换和系统稳定性至关重要。

典型例题 4.1：已知序列 \(x[n] = (-0.5)^n u[n] - 2^n u[-n-1]\)。

  1. 求 \(X(z)\) 并指明收敛域。
  2. 画出零极点图。

答案详解：

  1. 第一部分：\(x_1[n] = (-0.5)^n u[n]\)。
    • 变换：\(X_1(z) = \frac{1}{1 - (-0.5)z^{-1}} = \frac{1}{1 + 0.5z^{-1}} = \frac{z}{z + 0.5}\)。
    • ROC：\(|z| > 0.5\)（圆外）。
  2. 第二部分：\(x_2[n] = -2^n u[-n-1]\)。
    • 变换：\(X_2(z) = - \frac{1}{1 - 2z^{-1}} = - \frac{z}{z-2}\)。
    • ROC：\(|z| < 2\)（圆内）。
  3. 总和：
    • \(X(z) = \frac{z}{z + 0.5} - \frac{z}{z-2}\)。
    • ROC：两部分ROC的交集，即 \(0.5 < |z| < 2\)。
  4. 零极点：
    • 极点：\(z = -0.5\) 和 \(z = 2\)。
    • 零点：\(z = 0\)（分子都有 \(z\)，抵消后？不，通分看分子）。 $\( X(z) = \frac{z(z-2) - z(z+0.5)}{(z+0.5)(z-2)} = \frac{z^2 - 2z - z^2 - 0.5z}{(z+0.5)(z-2)} = \frac{-2.5z}{(z+0.5)(z-2)} \)$
    • 零点：\(z=0\)。
    • 极点：\(z=-0.5, z=2\)。

4.2 系统函数与差分方程

典型例题 4.2（考研真题风格）：某离散LTI系统由以下差分方程描述： \(y[n] - \frac{1}{3}y[n-1] = x[n] + \frac{1}{2}x[n-1]\)

  1. 求系统函数 \(H(z)\)。
  2. 画出系统的直接型结构图。
  3. 判断系统是否稳定。

答案详解：

  1. 求 \(H(z)\)： 对方程两边取Z变换（零状态）： $\( Y(z) - \frac{1}{3}z^{-1}Y(z) = X(z) + \frac{1}{2}z^{-1}X(z) \)\( \)\( Y(z)(1 - \frac{1}{3}z^{-1}) = X(z)(1 + \frac{1}{2}z^{-1}) \)\( \)\( H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1 + \frac{1}{2}z^{-1}}{1 - \frac{1}{3}z^{-1}} = \frac{z + 0.5}{z - 1/3} \)$
  2. 直接型结构图：
    • 由差分方程 \(y[n] = \frac{1}{3}y[n-1] + x[n] + \frac{1}{2}x[n-1]\)。
    • 这是一个一阶系统。
    • 结构描述：
      • 输入 \(x[n]\) 进入加法器。
      • \(x[n]\) 延迟一拍（\(z^{-1}\)）乘以 \(1/2\) 进入加法器。
      • 输出 \(y[n]\) 反馈，延迟一拍（\(z^{-1}\)）乘以 \(1/3\) 进入加法器。
      • 加法器输出为 \(y[n]\)。
  3. 稳定性：
    • 极点为 \(z = 1/3\)。
    • 因为 \(|1/3| < 1\)，极点在单位圆内。
    • 结论：系统稳定。

第五部分：考研真题综合演练

5.1 201X年某高校考研真题（综合题）

题目：已知LTI连续时间系统的频率响应为 \(H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + 1}\)，输入信号 \(x(t) = \cos(t) + \cos(3t)\)。

  1. 求系统的冲激响应 \(h(t)\)。
  2. 求系统输出 \(y(t)\)。
  3. 指出系统的滤波器类型（低通、高通等）。

答案详解：

  1. 求 \(h(t)\)： \(H(j\omega)\) 对应的拉普拉斯变换为 \(H(s) = \frac{1}{s+1}\) (ROC: \(\sigma > -1\))。 查表得逆变换： $\( h(t) = e^{-t}u(t) \)$
  2. 求 \(y(t)\)：
    • 方法一：时域卷积 \(y(t) = x(t) * h(t)\)。 由于 \(x(t)\) 是周期信号，可以利用LTI系统的特性：对频率为 \(\omega_0\) 的正弦输入，输出为 \(|H(j\omega_0)| \cos(t + \angle H(j\omega_0))\)。
    • 方法二：频域分析（推荐） 输入信号包含 \(\omega=1\) 和 \(\omega=3\) 两个频率分量。 计算频率响应值：
      • 当 \(\omega = 1\) 时： $\( H(j1) = \frac{1}{j1 + 1} = \frac{1-j}{(1+j)(1-j)} = \frac{1-j}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{-j\frac{\pi}{4}} \)\( 所以，\)\cos(t) \to \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(t - \frac{\pi}{4})$。
      • 当 \(\omega = 3\) 时： $\( H(j3) = \frac{1}{j3 + 1} = \frac{1-3j}{10} = \frac{\sqrt{10}}{10} e^{-j\arctan(3)} \approx 0.316 e^{-j71.6^\circ} \)\( 所以，\)\cos(3t) \to \frac{\sqrt{10}}{10} \cos(3t - \arctan(3))$。
    • 最终结果： $\( y(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos(t - \frac{\pi}{4}) + \frac{\sqrt{10}}{10} \cos(3t - \arctan(3)) \)$
  3. 滤波器类型：
    • \(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2}}\)。
    • 随着 \(\omega\) 增大，幅度减小。
    • 这是一个一阶低通滤波器。

结语

信号与系统的学习需要大量的练习来巩固理论知识。本文从基础概念出发，详细解析了傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换的典型例题，并结合考研真题进行了综合演练。希望这些详细的步骤和解释能帮助你攻克这门课程的难点。在复习时，务必注意收敛域的概念以及变换性质的灵活运用。祝你考研顺利！