引言

八年级上册数学是初中数学学习的关键阶段，内容涵盖代数、几何、函数等多个重要领域。课时作业作为巩固知识、检验学习效果的重要工具，其答案详解和常见问题解析对学生的学习至关重要。本文将针对八年级上册数学课时作业中的典型题目进行详细解答，并分析学生在解题过程中常见的错误和困惑，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

一、代数部分：整式的乘除与因式分解

1.1 整式的乘法

例题1： 计算 \((2x^2y)(-3xy^2)\)

答案详解： 根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘。 系数：\(2 \times (-3) = -6\) 字母部分：\(x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3\)，\(y \cdot y^2 = y^{1+2} = y^3\) 所以结果为：\(-6x^3y^3\)

常见问题解析：

  • 问题1： 符号错误。学生容易忽略负号，得出 \(6x^3y^3\)。
  • 问题2： 指数相加错误。如 \(x^2 \cdot x\) 误写为 \(x^2\) 或 \(x^3\) 误写为 \(x^6\)。
  • 解决方法： 强调系数相乘时的符号规则，以及同底数幂相乘时指数相加的法则。

1.2 因式分解

例题2： 因式分解 \(x^2 - 4\)

答案详解： 这是一个平方差公式的形式：\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) 这里 \(a = x\)，\(b = 2\) 所以 \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\)

常见问题解析：

  • 问题1： 分解不彻底。如 \(x^2 - 4 = (x+2)(x-2)\) 写成 \(x(x-4)\)。
  • 问题2： 混淆平方差公式和完全平方公式。如将 \(x^2 - 4\) 误写为 \((x-2)^2\)。
  • 解决方法： 熟记常见公式，分解后检查是否还能继续分解。

二、几何部分：全等三角形

2.1 全等三角形的判定

例题3： 如图，已知 \(AB = AC\)，\(AD = AE\)，求证：\(\triangle ABD \cong \triangle ACE\)

答案详解： 证明过程：

  1. 在 \(\triangle ABD\) 和 \(\triangle ACE\) 中
  2. \(AB = AC\) （已知）
  3. \(\angle BAD = \angle CAE\) （公共角）
  4. \(AD = AE\) （已知）
  5. 所以 \(\triangle ABD \cong \triangle ACE\) （SAS）

常见问题解析：

  • 问题1： 证明步骤不完整。缺少“在…中”或“已知”等关键步骤。
  • 问题2： 判定条件选择错误。如误用SSS或ASA。
  • 解决方法： 严格按照证明格式书写，先明确已知条件，再选择合适的判定方法。

2.2 全等三角形的应用

例题4： 如图，要测量河两岸相对两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上。测得DE=80米，求AB的长。

答案详解： 证明 \(\triangle ABC \cong \triangle EDC\)

  1. \(\angle B = \angle D = 90^\circ\) （垂直定义）
  2. \(BC = CD\) （已知）
  3. \(\angle ACB = \angle ECD\) （对顶角相等）
  4. 所以 \(\triangle ABC \cong \triangle EDC\) （ASA）
  5. 因此 \(AB = ED = 80\) 米

常见问题解析：

  • 问题1： 不理解全等三角形在实际测量中的应用原理。
  • 问题2： 证明过程中忽略垂直条件。
  • 解决方法： 结合图形理解全等三角形的对应关系，注意垂直条件的使用。

三、函数部分：一次函数

3.1 一次函数的图像与性质

例题5： 画出函数 \(y = 2x - 1\) 的图像，并说明其性质。

答案详解：

  1. 列表：取 \(x = 0\)，得 \(y = -1\)；取 \(x = 1\)，得 \(y = 1\)
  2. 描点：\((0, -1)\)，\((1, 1)\)
  3. 连线：过这两点作直线
  4. 性质：\(k = 2 > 0\)，\(b = -1\)，所以图像经过一、三、四象限，y随x增大而增大。

常见问题解析：

  • 问题1： 画图不准确，点取太少。
  • 问题2： 不理解k和b对图像的影响。
  • 解决方法： 多取几个点，理解k决定倾斜方向，b决定与y轴交点。

3.2 一次函数的应用

例题6： 某商店销售一种商品，每件进价30元，售价50元，每天可售出20件。为了促销，商店决定降价销售。经调查，每降价1元，每天可多售出2件。设降价x元，每天利润为y元。 (1) 写出y与x的函数关系式； (2) 求降价多少元时，每天利润最大。

答案详解： (1) 每件利润：\(50 - x - 30 = 20 - x\) 每天销量：\(20 + 2x\) 所以 \(y = (20 - x)(20 + 2x) = 400 + 40x - 20x - 2x^2 = -2x^2 + 20x + 400\) (2) 这是一个二次函数，开口向下，最大值在顶点处。 \(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2 \times (-2)} = 5\) 所以降价5元时，利润最大。

常见问题解析：

  • 问题1： 不理解利润与售价、销量的关系。
  • 问题2： 二次函数最值计算错误。
  • 解决方法： 明确利润=单件利润×销量，掌握二次函数顶点公式。

四、统计与概率初步

4.1 数据的分析

例题7： 某班10名学生的数学成绩如下（单位：分）：85, 90, 78, 92, 88, 95, 80, 87, 91, 89。求这组数据的平均数、中位数和众数。

答案详解：

  1. 平均数：\((85+90+78+92+88+95+80+87+91+89) \div 10 = 875 \div 10 = 87.5\)
  2. 排序：78, 80, 85, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 95
  3. 中位数：第5和第6个数的平均值 \((88+89) \div 2 = 88.5\)
  4. 众数：没有重复数据，无众数

常见问题解析：

  • 问题1： 中位数计算错误，未排序或取错位置。
  • 问题2： 平均数计算时漏掉数据或计算错误。
  • 解决方法： 计算前先排序，注意中位数的位置。

4.2 概率初步

例题8： 一个不透明的袋子中有3个红球和2个白球，随机摸出一个球，求摸到红球的概率。

答案详解： 总球数：\(3 + 2 = 5\) 红球数：3 摸到红球的概率：\(P(\text{红球}) = \frac{3}{5}\)

常见问题解析：

  • 问题1： 概率计算时分子分母颠倒。
  • 问题2： 不理解“随机摸出”的含义。
  • 解决方法： 概率=有利事件数/总事件数，确保所有事件等可能。

五、综合应用与易错题分析

5.1 跨章节综合题

例题9： 已知一次函数 \(y = kx + b\) 的图像经过点 \((2, 5)\) 和 \((4, 9)\)，且与坐标轴围成的三角形面积为6，求k和b的值。

答案详解：

  1. 代入点求k和b： \(5 = 2k + b\) (1) \(9 = 4k + b\) (2) (2)-(1)得：\(4 = 2k\)，所以 \(k = 2\) 代入(1)：\(5 = 4 + b\)，所以 \(b = 1\)
  2. 验证面积： 与x轴交点：令\(y=0\)，\(2x+1=0\)，\(x=-0.5\) 与y轴交点：令\(x=0\)，\(y=1\) 面积 = \(\frac{1}{2} \times |-0.5| \times 1 = 0.25 \neq 6\)
  3. 重新分析：题目中“与坐标轴围成的三角形面积为6”是条件，不是结果。 设与x轴交点为\((a,0)\)，则\(0 = ka + b\)，\(a = -\frac{b}{k}\) 面积 = \(\frac{1}{2} \times |a| \times |b| = \frac{1}{2} \times \left|-\frac{b}{k}\right| \times |b| = \frac{b^2}{2|k|} = 6\) 所以 \(b^2 = 12|k|\) 又因为 \(b = 5 - 2k\)（由点(2,5)得） 代入：\((5-2k)^2 = 12|k|\) 分情况讨论： 当 \(k > 0\) 时：\((5-2k)^2 = 12k\) \(4k^2 - 20k + 25 = 12k\) \(4k^2 - 32k + 25 = 0\) 解得 \(k = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 400}}{8} = \frac{32 \pm \sqrt{624}}{8} = \frac{32 \pm 4\sqrt{39}}{8} = 4 \pm \sqrt{39}\) 当 \(k < 0\) 时：\((5-2k)^2 = -12k\) \(4k^2 - 20k + 25 = -12k\) \(4k^2 - 8k + 25 = 0\) 判别式 \(\Delta = 64 - 400 = -336 < 0\)，无实数解。 所以 \(k = 4 + \sqrt{39}\) 或 \(k = 4 - \sqrt{39}\)，对应 \(b = 5 - 2k\) 当 \(k = 4 + \sqrt{39}\) 时，\(b = 5 - 2(4 + \sqrt{39}) = -3 - 2\sqrt{39}\) 当 \(k = 4 - \sqrt{39}\) 时，\(b = 5 - 2(4 - \sqrt{39}) = -3 + 2\sqrt{39}\)

常见问题解析：

  • 问题1： 忽略面积条件，直接求k和b。
  • 问题2： 未考虑k的正负情况，导致漏解。
  • 解决方法： 仔细审题，明确所有条件，分类讨论。

5.2 易错题汇总

易错题1： 计算 \((a-b)^2\) 与 \(a^2 - b^2\) 的区别。

  • 错误答案： 混淆两者，认为 \((a-b)^2 = a^2 - b^2\)
  • 正确答案： \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
  • 解析： 完全平方公式与平方差公式的区别。

易错题2： 全等三角形证明中对应边、对应角找错。

  • 错误答案： 在证明 \(\triangle ABC \cong \triangle DEF\) 时，误将 \(AB\) 对应 \(DF\)
  • 正确答案： 根据图形和已知条件确定对应关系
  • 解析： 证明前先标出对应点，确保对应关系正确。

易错题3： 一次函数图像平移规律记错。

  • 错误答案： 认为 \(y = kx + b + c\) 是向上平移 \(c\) 个单位
  • 正确答案： \(y = kx + b + c\) 是向上平移 \(c\) 个单位（当 \(c > 0\)）
  • 解析： 注意平移方向与系数符号的关系。

六、学习建议与方法

6.1 代数学习建议

  1. 熟记公式： 整式乘法公式、因式分解公式必须熟练掌握。
  2. 多做练习： 通过大量练习提高计算准确性和速度。
  3. 注意符号： 代数运算中符号是关键，养成检查习惯。

6.2 几何学习建议

  1. 理解概念： 全等三角形的判定条件要理解透彻。
  2. 规范书写： 证明过程要规范，步骤完整。
  3. 数形结合： 结合图形理解几何关系。

6.3 函数学习建议

  1. 理解图像： 通过画图理解函数性质。
  2. 联系实际： 将函数知识与实际问题结合。
  3. 掌握方法： 学会求函数表达式、最值等。

6.4 综合学习建议

  1. 建立错题本： 记录典型错误，定期复习。
  2. 定期总结： 每周总结所学知识，形成知识网络。
  3. 寻求帮助： 遇到困难及时请教老师或同学。

七、常见问题解答

7.1 代数问题

Q： 如何提高整式运算的准确性？ A： 1. 熟记运算法则；2. 分步计算，避免跳步；3. 计算后检查；4. 多做专项练习。

7.2 几何问题

Q： 全等三角形证明总是找不到对应关系怎么办？ A： 1. 仔细观察图形，标出已知条件；2. 先假设对应关系，再验证；3. 从简单条件入手，逐步推导。

7.3 函数问题

Q： 一次函数应用题总是理解不了题意怎么办？ A： 1. 画出草图帮助理解；2. 列出已知量和未知量；3. 找出等量关系；4. 从简单问题开始练习。

7.4 综合问题

Q： 跨章节题目总是做不出来怎么办？ A： 1. 分解问题，将综合题拆解为几个小问题；2. 回顾相关知识点；3. 从已知条件入手，逐步推导；4. 多做综合题，积累经验。

八、总结

八年级上册数学内容丰富，涵盖代数、几何、函数等多个领域。通过本文的详细解析和常见问题分析，希望能帮助学生更好地理解数学知识，掌握解题方法。学习数学的关键在于理解概念、掌握方法、勤加练习。遇到困难时不要气馁，多思考、多总结，相信每位同学都能在数学学习中取得进步。

记住： 数学学习没有捷径，但有方法。理解比记忆更重要，思考比刷题更有效。希望每位同学都能在数学的海洋中找到乐趣，收获知识！