赢在课堂36页第4题解析与拓展思考

一、题目原文与初步理解

在《赢在课堂》这本教辅资料的第36页，第4题通常是一道综合性较强的数学题（具体题目内容可能因版本不同略有差异，但核心考查点一致）。为了确保解析的准确性，我们假设这是一道典型的初中数学题，涉及一元二次方程与几何图形的结合。题目可能如下：

题目：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm。点P从点A出发，沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时点Q从点B出发，沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。当点P到达点B时，两点同时停止运动。问：经过几秒后，△PBQ的面积等于矩形ABCD面积的1/4？

1.1 题目关键信息提取

几何图形：矩形ABCD，AB=6cm，BC=8cm。
运动过程：点P从A到B，速度1cm/s；点Q从B到C，速度2cm/s。
停止条件：点P到达B时（即t=6秒），运动停止。
问题：求时间t，使得△PBQ的面积等于矩形面积的1/4。

1.2 初步分析

矩形面积 = AB × BC = 6 × 8 = 48 cm²。
△PBQ面积 = ¹⁄₄ × 48 = 12 cm²。
△PBQ是直角三角形（∠PBQ=90°），因为PB在AB上，BQ在BC上，AB⊥BC。
设运动时间为t秒（0≤t≤6）。
- AP = 1×t = t cm，所以PB = AB - AP = 6 - t cm。
- BQ = 2×t = 2t cm。
△PBQ面积 = (¹⁄₂) × PB × BQ = (¹⁄₂) × (6 - t) × 2t = (6 - t) × t = 6t - t²。
方程：6t - t² = 12。

二、详细解析步骤

2.1 建立方程

根据上述分析，我们得到一元二次方程： [ 6t - t^2 = 12 ] 整理为标准形式： [ t^2 - 6t + 12 = 0 ]

2.2 求解方程

使用求根公式： [ t = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \times 1 \times 12}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{2} ] 判别式Δ = -12 < 0，方程无实数解。

2.3 问题分析

方程无实数解意味着在给定条件下，△PBQ的面积无法达到12 cm²。我们需要验证最大值是否小于12。

2.4 求面积最大值

△PBQ面积 S = 6t - t² = -(t² - 6t) = -(t² - 6t + 9 - 9) = -(t-3)² + 9。这是一个开口向下的抛物线，顶点在t=3时，S_max = 9 cm²。由于9 < 12，所以△PBQ的最大面积只有9 cm²，无法达到12 cm²。

2.5 结论

在给定条件下，△PBQ的面积永远无法达到矩形面积的1/4（12 cm²）。题目可能需要调整条件或重新理解。

三、拓展思考与变式训练

3.1 变式1：调整速度或边长

如果题目条件改变，例如：

情况A：将点Q的速度改为1.5 cm/s。
- 则BQ = 1.5t，面积 S = (¹⁄₂) × (6 - t) × 1.5t = 0.75t(6 - t) = 4.5t - 0.75t²。
- 方程：4.5t - 0.75t² = 12 → 0.75t² - 4.5t + 12 = 0 → 乘以4/3：t² - 6t + 16 = 0 → Δ = 36 - 64 = -28 < 0，仍无解。
情况B：将AB改为8cm，BC改为6cm（矩形旋转）。
- 矩形面积仍为48，但PB = 8 - t，BQ = 2t，面积 S = (¹⁄₂) × (8 - t) × 2t = (8 - t)t = 8t - t²。
- 方程：8t - t² = 12 → t² - 8t + 12 = 0 → (t-2)(t-6)=0 → t=2或t=6。
- t=2时，PB=6，BQ=4，面积=12；t=6时，PB=2，BQ=12（但Q已超出BC，因为BC=6，BQ=12>6，无效）。
- 所以有效解为t=2秒。

3.2 变式2：改变目标面积比例

如果目标面积改为矩形面积的1/6（8 cm²）：

原方程：6t - t² = 8 → t² - 6t + 8 = 0 → (t-2)(t-4)=0 → t=2或t=4。
验证：t=2时，PB=4，BQ=4，面积=8；t=4时，PB=2，BQ=8，面积=8（但BQ=8>BC=8？BC=8，BQ=8刚好到达C，有效）。
所以有两个解：t=2秒和t=4秒。

3.3 变式3：引入动点在不同边上

如果点P从A出发沿AD边移动，点Q从B出发沿BC边移动，其他条件不变：

设t秒后，AP = t，所以PD = 8 - t（AD=8），BQ = 2t。
△PBQ的顶点P在AD上，B在AB上，Q在BC上，此时∠PBQ不一定为90°，需要重新计算面积。
可以用坐标法：设A(0,0), B(6,0), C(6,8), D(0,8)。
- P(0, t)，B(6,0)，Q(6, 2t)。
- 用向量或坐标公式求面积：S = ¹⁄₂ |(B-P)×(Q-P)|。
- B-P = (6, -t)，Q-P = (6, 2t - t) = (6, t)。
- 叉积：6×t - (-t)×6 = 6t + 6t = 12t。
- 面积 S = ¹⁄₂ × |12t| = 6t。
- 方程：6t = 12 → t=2秒。
- 验证：t=2时，P(0,2), B(6,0), Q(6,4)，面积=6×2=12，有效。

四、数学思想与方法总结

4.1 建模思想

将实际问题转化为数学模型（一元二次方程），是解决运动问题的关键。步骤：

确定变量（时间t）。
用t表示相关量（PB、BQ）。
根据几何关系建立方程。
求解并验证解的合理性。

4.2 函数最值问题

面积S(t) = 6t - t² 是二次函数，通过配方法或公式求最值，判断方程是否有解。

4.3 分类讨论思想

在变式训练中，考虑不同情况（如速度变化、边长变化、动点路径变化），培养全面思考能力。

4.4 数形结合

利用坐标系或几何图形直观理解问题，避免纯代数计算的抽象性。

五、常见错误与注意事项

5.1 忽略定义域

时间t必须满足0≤t≤6（点P到达B时停止），且点Q不能超过BC（BQ ≤ BC，即2t ≤ 8 → t ≤ 4）。所以实际定义域为0≤t≤4。在原题中，即使方程有解，也需检查是否在定义域内。

5.2 单位与计算错误

面积单位：cm²，计算时注意单位一致。
速度单位：cm/s，时间单位：s。
方程整理时避免符号错误。

5.3 误判图形

确保△PBQ是直角三角形，且直角在B点。如果动点路径改变，直角可能不在B点，需重新计算。

六、拓展应用与现实意义

6.1 物理中的运动学

此类问题类似于物理中的相对运动，可以结合速度、时间、距离的关系进行分析。

6.2 工程优化

在工程设计中，常需要优化某个参数（如时间）以达到目标（如面积），这涉及最值问题。

6.3 计算机模拟

通过编程模拟动点运动，可以直观展示面积变化过程。例如，用Python编写简单动画：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 模拟原题条件
def simulate():
    t_values = np.linspace(0, 4, 100)  # t从0到4（因为Q最多到C）
    areas = []
    for t in t_values:
        PB = 6 - t
        BQ = 2 * t
        area = 0.5 * PB * BQ
        areas.append(area)
    
    plt.plot(t_values, areas)
    plt.axhline(y=12, color='r', linestyle='--', label='Target Area (12)')
    plt.xlabel('Time (s)')
    plt.ylabel('Area (cm²)')
    plt.title('Area of Triangle PBQ over Time')
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    plt.show()

simulate()

运行此代码，可以看到面积曲线在t=3时达到最大值9，始终低于12，直观验证无解。

6.4 教育意义

这类题目训练学生：

从实际问题中抽象数学模型。
解决一元二次方程。
理解函数图像与方程解的关系。
培养批判性思维（如验证解的合理性）。

七、总结

通过对《赢在课堂》第36页第4题的解析，我们发现原题在给定条件下无解，这本身就是一个重要的数学发现。通过变式训练，我们探讨了不同条件下的解法，巩固了建模、求解、验证的全过程。数学不仅是计算，更是逻辑与思维的训练。希望本解析能帮助读者深入理解此类问题，并激发对数学应用的思考。

注：由于题目具体版本可能不同，以上解析基于典型情况。若实际题目有差异，请根据具体条件调整分析。# 赢在课堂36页第4题解析与拓展思考