微积分是现代科学和工程的基石，它研究变化率和累积量。对于即将进入大学的学生来说，提前预习微积分不仅能减轻开学后的学习压力，还能帮助你建立坚实的数学思维。本教程将从最基础的概念开始，逐步深入，用通俗易懂的语言和详尽的例子为你铺平道路。

1. 微积分的核心思想：变化与累积

想象一下，你正在观察一辆汽车的行驶。你可能关心两个问题：

  1. 瞬时速度：在某一时刻，汽车开得有多快？（变化率）
  2. 总路程：从起点到终点，汽车一共走了多远？（累积量）

微积分就是解决这类问题的数学工具。它主要由两部分组成：

  • 微分学：研究函数的变化率（导数）和切线。
  • 积分学：研究函数的累积量（积分）和面积。

这两者通过微积分基本定理紧密相连，就像硬币的两面。

2. 函数：微积分的研究对象

在微积分中，我们研究的不是孤立的数字，而是函数。函数描述了两个变量之间的依赖关系。

2.1 函数的定义

一个函数 f 将一个集合（定义域）中的每个元素 x 映射到另一个集合（值域）中的唯一元素 f(x)。

例子：f(x) = x²。这是一个简单的二次函数。

  • 当 x = 2 时，f(2) = 2² = 4。
  • 当 x = -3 时，f(-3) = (-3)² = 9。

2.2 常见的函数类型

预习时，你需要熟悉以下几类函数：

  • 线性函数：f(x) = mx + b（直线）
  • 多项式函数：f(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0
  • 有理函数：两个多项式的比值，如 f(x) = 1/x
  • 三角函数：sin(x), cos(x), tan(x)（用于描述周期性变化）
  • 指数函数与对数函数：f(x) = e^x 和 f(x) = ln(x)（用于描述增长和衰减）

练习：画出 f(x) = x² 和 f(x) = sin(x) 的草图，观察它们的形状。

3. 极限：微积分的“地基”

在微积分中，我们经常需要研究当 x 无限接近某个值 a 时，函数 f(x) 的行为。这就是极限的概念。

3.1 极限的直观理解

考虑函数 f(x) = (x² - 1) / (x - 1)。当 x = 1 时，分母为零，函数无定义。但我们可以看看 x 无限接近 1 时会发生什么：

x f(x) = (x² - 1)/(x - 1)
0.9 (0.81 - 1)/(0.9 - 1) = (-0.19)/(-0.1) = 1.9
0.99 (0.9801 - 1)/(0.99 - 1) = (-0.0199)/(-0.01) = 1.99
0.999 (0.998001 - 1)/(0.999 - 1) = (-0.001999)/(-0.001) = 1.999
1.001 (1.002001 - 1)/(1.001 - 1) = (0.002001)/(0.001) = 2.001
1.01 (1.0201 - 1)/(1.01 - 1) = (0.0201)/(0.01) = 2.01

从表中可以看出，当 x 越来越接近 1 时，f(x) 的值越来越接近 2。因此，我们说： $\( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2 \)$ 尽管函数在 x=1 处没有定义，但它的极限存在。

3.2 极限的计算规则

极限的计算遵循一些基本规则，例如：

  • 和/差的极限：lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)
  • 乘积的极限：lim [f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)
  • 商的极限：lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)（前提是分母的极限不为零）

例子：计算 lim_{x→2} (3x² + 2x - 1)

  1. 直接代入：3*(2)² + 2*(2) - 1 = 12 + 4 - 1 = 15
  2. 所以，lim_{x→2} (3x² + 2x - 1) = 15

4. 导数：瞬时变化率

导数是微分学的核心，它描述了函数在某一点的瞬时变化率，也就是函数图像在该点的切线斜率。

4.1 导数的定义

函数 f(x) 在点 x 处的导数定义为： $\( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)$ 这个公式看起来复杂，但它的几何意义非常直观：它计算的是连接点 (x, f(x)) 和点 (x+h, f(x+h)) 的割线斜率，当 h 趋近于 0 时，割线就变成了切线。

4.2 导数的计算：求导法则

记住以下基本求导法则，你就能解决大部分问题：

  1. 幂函数法则：d/dx [x^n] = n * x^(n-1)
    • 例子：d/dx [x³] = 3x²
    • 例子：d/dx [x] = 1 * x^0 = 1
    • 例子：d/dx [1/x] = d/dx [x⁻¹] = -1 * x⁻² = -1/x²
  2. 常数倍法则：d/dx [c * f(x)] = c * f'(x)
    • 例子：d/dx [5x²] = 5 * 2x = 10x
  3. 和/差法则：d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)
    • 例子：d/dx [x³ + 2x] = 3x² + 2
  4. 乘积法则：d/dx [f(x) * g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
    • 例子：d/dx [x * sin(x)] = (1) * sin(x) + x * cos(x) = sin(x) + x cos(x)
  5. 商法则：d/dx [f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²
    • 例子：d/dx [sin(x)/x] = [cos(x)*x - sin(x)*1] / x² = (x cos(x) - sin(x)) / x²
  6. 链式法则：d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)
    • 例子：d/dx [sin(x²)] = cos(x²) * 2x

综合例子：求函数 f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7 的导数。

  • 应用幂函数法则和常数倍法则：
    • d/dx [3x⁴] = 3 * 4x³ = 12x³
    • d/dx [-2x³] = -2 * 3x² = -6x²
    • d/dx [5x] = 5
    • d/dx [-7] = 0（常数的导数为0）
  • 所以，f'(x) = 12x³ - 6x² + 5

4.3 导数的应用

导数在现实世界中有广泛的应用：

  • 物理学：速度是位移的导数，加速度是速度的导数。
  • 经济学：边际成本是总成本函数的导数。
  • 优化问题：通过寻找导数为零的点（临界点）来找到函数的最大值或最小值。

例子：一个球被抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为 h(t) = -5t² + 20t + 1。求球在 t=2 秒时的瞬时速度。

  1. 速度是高度的导数：v(t) = h'(t) = d/dt [-5t² + 20t + 1] = -10t + 20
  2. 代入 t=2：v(2) = -10*2 + 20 = 0 米/秒。
    • 这意味着在 t=2 秒时，球达到了最高点，瞬时速度为零。

5. 积分：累积与面积

积分是积分学的核心，它描述了函数的累积效应，几何上对应于函数曲线与 x 轴之间的面积。

5.1 定积分与不定积分

  • 不定积分：求导的逆运算，得到的是原函数族（包含一个任意常数 C）。
    • 符号：∫ f(x) dx = F(x) + C，其中 F'(x) = f(x)
    • 例子：∫ 2x dx = x² + C
  • 定积分：计算一个函数在某个区间 [a, b] 上的累积量（面积）。
    • 符号：∫_a^b f(x) dx
    • 几何意义：曲线 y = f(x) 与 x 轴在区间 [a, b] 上围成的有向面积。

5.2 积分的基本法则

  1. 幂函数法则：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n ≠ -1）
    • 例子：∫ x³ dx = x⁴/4 + C
  2. 常数倍法则：∫ c * f(x) dx = c * ∫ f(x) dx
    • 例子：∫ 5x² dx = 5 * (x³/3) + C = (5/3)x³ + C
  3. 和/差法则：∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
    • 例子：∫ (3x² + 2x) dx = ∫ 3x² dx + ∫ 2x dx = x³ + x² + C
  4. 换元积分法（凑微分法）：∫ f(g(x)) * g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中 u = g(x)
    • 例子：∫ 2x * e^(x²) dx
      • 令 u = x²，则 du = 2x dx
      • 原式变为 ∫ e^u du = e^u + C = e^(x²) + C

5.3 微积分基本定理

这是连接微分和积分的桥梁。如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，那么： $\( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \)$ 这个定理告诉我们，要计算定积分，只需找到原函数，然后代入上下限相减。

例子：计算 ∫_0^2 (3x² + 2x) dx

  1. 先求不定积分：∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C
  2. 应用微积分基本定理：
    • F(x) = x³ + x²
    • F(2) = 2³ + 2² = 8 + 4 = 12
    • F(0) = 0³ + 0² = 0
    • 所以，∫_0^2 (3x² + 2x) dx = F(2) - F(0) = 12 - 0 = 12

5.4 积分的应用

  • 面积：计算不规则图形的面积。
  • 体积：旋转体体积（圆盘法、柱壳法）。
  • 弧长：曲线长度。
  • 物理：功、质心、流体压力。

例子：求曲线 y = x² 与 x 轴在区间 [0, 1] 上围成的面积。

  1. 建立定积分：∫_0^1 x² dx
  2. 求原函数：F(x) = x³/3
  3. 计算：F(1) - F(0) = (1³/3) - (0³/3) = 1/3
  4. 所以，面积为 1/3 平方单位。

6. 预习建议与学习资源

6.1 学习建议

  1. 理解概念，而非死记公式：微积分的公式很多，但理解每个概念背后的几何和物理意义更重要。
  2. 多做练习：通过大量的练习来巩固求导和积分的技巧。从简单的题目开始，逐步增加难度。
  3. 可视化：使用图形计算器或在线工具（如 Desmos、GeoGebra）绘制函数图像，观察导数和积分如何改变图形。
  4. 建立联系：将微积分与你已知的物理、经济学或几何知识联系起来，加深理解。

6.2 推荐学习资源

  • 书籍：
    • 《普林斯顿微积分读本》（Adrian Banner）：语言通俗，适合初学者。
    • 《托马斯微积分》（Thomas’ Calculus）：经典教材，内容全面。
  • 在线课程：
    • Khan Academy（可汗学院）：免费，视频讲解清晰，练习系统完善。
    • MIT OpenCourseWare：提供完整的微积分课程视频和讲义。
    • Coursera / edX：有许多大学提供的微积分入门课程。
  • 工具：
    • Desmos：在线图形计算器，用于可视化函数、导数和积分。
    • Wolfram Alpha：强大的计算引擎，可以验证你的求导和积分结果。

7. 总结

微积分是一门强大而优美的学科，它为我们提供了理解和描述变化世界的语言。通过预习，你已经掌握了函数、极限、导数和积分这些核心概念。记住，微积分的学习是一个循序渐进的过程，不要因为一时的困难而气馁。保持好奇心，勤于练习，你一定能在大学的微积分课程中取得优异的成绩。祝你学习顺利！