在数学竞赛中，圆的几何问题因其丰富的性质、巧妙的构造和灵活的解法而备受青睐。无论是初中数学竞赛（如AMC 8/10，国内初中数学联赛）还是高中数学竞赛（如CMO，IMO），圆的题目都常常作为压轴题或中等难度题出现。这类题目不仅考察学生对圆的基本性质（如圆周角、圆心角、切线、弦切角等）的掌握，更考验其综合运用几何知识、代数工具以及创造性思维的能力。本文将深入解析圆的竞赛题，通过经典例题和详细解题步骤，分享核心的解题技巧与思维方法。

一、 圆的基本性质与竞赛中的核心定理

在深入解题之前，我们必须牢固掌握圆的基本性质，这些是解题的基石。竞赛中常用的定理包括：

  1. 圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等，且等于圆心角的一半。推论包括：直径所对的圆周角是直角；圆内接四边形的对角互补等。
  2. 切线的性质：切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。
  3. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
  4. 圆幂定理：包括相交弦定理和切割线定理。相交弦定理：圆内两条相交弦，各弦被交点分成的两条线段的乘积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长的平方等于割线长与圆外部分长的积。
  5. 托勒密定理：圆内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。这是一个非常强大的工具，常用于证明线段关系或计算长度。
  6. 欧拉定理：在三角形中，外心、重心、垂心共线（欧拉线），且重心到外心的距离是重心到垂心距离的1/3。虽然不直接涉及圆，但与三角形的外接圆密切相关。

这些定理在竞赛中常常被组合使用，形成复杂的几何问题。接下来，我们将通过具体例题来展示如何灵活运用这些定理。

二、 经典例题解析与技巧分享

例题1：圆幂定理的巧妙应用（初中竞赛难度）

题目：如图，已知⊙O的半径为R，点P在⊙O外，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，直线PO交⊙O于C、D两点（C在P、O之间）。求证：PA² = PC·PD。

解析： 这是一个典型的切割线定理的证明题，但我们可以用多种方法来证明，以展示不同的思维路径。

方法一：利用相似三角形（基础方法）

  1. 连接OA、OB。因为PA、PB是切线，所以OA⊥PA，OB⊥PB。
  2. 在Rt△OAP和Rt△OBP中，OA=OB=R，OP为公共边，所以Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），从而PA=PB。
  3. 要证PA² = PC·PD，即证PA/PC = PD/PA。
  4. 观察△PAC和△PDA。∠APC是公共角，∠PAC是弦切角，它所夹的弧是AC，所对的圆周角是∠ADC（或∠ABC）。但更直接的是，因为∠OAP=90°，所以∠PAC + ∠OAC = 90°。又因为∠ADC是圆周角，∠AOC是圆心角，所以∠ADC = 1⁄2 ∠AOC。而∠OAC = ∠OCA（等腰三角形），所以∠OAC = (180° - ∠AOC)/2 = 90° - 1⁄2 ∠AOC。因此，∠PAC = ∠ADC。
  5. 所以，△PAC ∽ △PDA（AA相似）。从而PA/PC = PD/PA，即PA² = PC·PD。

方法二：直接应用切割线定理（竞赛常用快捷方法） 切割线定理本身就是竞赛中的重要结论。题目条件直接给出了切线PA和割线PCD，根据切割线定理，立即可得PA² = PC·PD。这道题的目的就是让学生熟悉并直接应用这个定理。

技巧总结：

  • 识别模型：看到“圆外一点引切线和割线”，立刻想到切割线定理。
  • 构造相似：如果定理不熟悉，可以通过连接半径、利用弦切角定理构造相似三角形来证明。这是更基础但更通用的方法。
  • 代数化：在复杂问题中，圆幂定理常常将几何长度关系转化为代数方程，是解题的关键桥梁。

例题2：圆内接四边形与托勒密定理（高中竞赛难度）

题目：在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E。已知AB=3，BC=4，CD=5，DA=6。求对角线AC的长度。

解析： 这是一个经典的托勒密定理应用题。直接求AC比较困难，但我们可以利用托勒密定理建立方程。

步骤：

  1. 应用托勒密定理：对于圆内接四边形ABCD，有 AC·BD = AB·CD + AD·BC。 代入已知边长：AC·BD = 3×5 + 6×4 = 15 + 24 = 39。 所以，AC·BD = 39。 (1)

  2. 寻找另一个关系：只有一个方程无法求出AC。我们需要另一个关于AC和BD的方程。这里可以利用相似三角形。 在圆内接四边形中，由圆周角定理可得：∠BAC = ∠BDC，∠ABD = ∠ACD，等等。 因此，△ABE ∽ △DCE，△ADE ∽ △BCE。 由△ABE ∽ △DCE，得 AB/DC = AE/DE = BE/CE。 由△ADE ∽ △BCE，得 AD/BC = AE/BE = DE/CE。

  3. 设未知数并建立方程： 设AE = x，EC = y，则AC = x + y。 设BE = m，ED = n，则BD = m + n。 由△ABE ∽ △DCE：AB/DC = AE/DE => 3⁄5 = x/n => n = (5⁄3)x。 由△ADE ∽ △BCE：AD/BC = AE/BE => 6⁄4 = x/m => m = (2⁄3)x。 所以，BD = m + n = (2⁄3)x + (5⁄3)x = (7⁄3)x。 同时，由△ABE ∽ △DCE：AB/DC = BE/CE => 3⁄5 = m/y => y = (5⁄3)m = (5⁄3)×(2⁄3)x = (10⁄9)x。 所以，AC = x + y = x + (10⁄9)x = (19⁄9)x。

  4. 代入托勒密定理方程： 将AC和BD用x表示代入方程(1)： (19⁄9)x · (7⁄3)x = 39 (133⁄27)x² = 39 x² = 39 × 27 / 133 = (39⁄133) × 27 计算：39/133 = 3⁄10.23… 这里我们精确计算：39和133的最大公约数是1，所以 x² = 1053/133。 因此，x = √(1053⁄133) = √(1053)/√(133) = (3√117)/√133。这个形式不简洁，说明我们的计算可能有误或题目数据特殊。

    重新检查数据：题目给的边长3,4,5,6是否能构成圆内接四边形？根据托勒密定理的逆定理，如果AC·BD = 39，且边长满足一定条件，可以构成。但我们的计算得到AC = (19⁄9)x，BD = (7⁄3)x，乘积为 (19⁄9)*(7⁄3)x² = (133⁄27)x² = 39，所以x² = 39*27⁄133 = 1053⁄133 ≈ 7.917，x≈2.814。那么AC = (19⁄9)*2.814 ≈ 5.95。这个结果看起来合理。

    但竞赛题通常设计为整数或简单根式。我们可能忽略了另一个关系：利用余弦定理在三角形中建立关系。但托勒密定理结合相似是标准解法。或许题目数据是精心设计的，我们来验证一下。 实际上，对于边长3,4,5,6的圆内接四边形，对角线AC的长度是一个确定值。我们可以通过解三角形来验证。 设∠ABC = θ，则在△ABC中，由余弦定理：AC² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cosθ = 9 + 16 - 24cosθ = 25 - 24cosθ。 在△ADC中，∠ADC = 180° - θ（圆内接四边形对角互补），所以AC² = AD² + DC² - 2·AD·DC·cos(180°-θ) = 36 + 25 + 60cosθ = 61 + 60cosθ。 联立：25 - 24cosθ = 61 + 60cosθ => -36 = 84cosθ => cosθ = -36⁄84 = -3/7。 代入：AC² = 25 - 24×(-3⁄7) = 25 + 72⁄7 = (175 + 72)/7 = 247/7。 所以 AC = √(247⁄7) = √(247)/√7。247=13×19，所以AC = √(13×19/7)。这与我们之前通过托勒密定理和相似得到的结果一致吗？ 我们之前得到AC = (19⁄9)x，且x² = 1053/133。那么AC² = (361⁄81) × (1053⁄133) = (361×1053)/(81×133)。计算分子：361×1053 = 361×(1000+53)=361000+19133=380133。分母：81×133=10773。380133/10773 ≈ 35.29。而247/7 ≈ 35.2857。两者相等！因为380133/10773 = (247×1539)/(7×1539) = 247/7。所以结果一致。

    因此，AC = √(247⁄7)。

技巧总结：

  • 托勒密定理是核心：对于圆内接四边形的边长和对角线问题，托勒密定理是首选工具。
  • 结合相似三角形：当直接应用托勒密定理无法求解时，需要利用圆内接四边形的相似三角形关系，建立边长比例，引入参数，将问题转化为代数方程组。
  • 多角度验证：当得到复杂结果时，可以用其他方法（如余弦定理）进行验证，确保答案正确。竞赛中，答案通常需要化简为最简形式。

例题3：圆的综合问题与构造法（高中竞赛压轴题难度）

题目：在锐角三角形ABC中，AB > AC，以BC为直径作圆，分别交AB、AC于D、E（D、E不同于B、C）。设F是DE与BC的交点。求证：BF·FC = BD·CE。

解析： 这道题涉及圆、三角形、交点，需要综合运用多个定理，并可能需要巧妙的构造。

思路分析： 要证 BF·FC = BD·CE。 左边BF·FC是点F对圆的幂（因为BC是直径，F在BC上，所以BF·FC = (BC/2 - OF)² - (BC/2)²，但这样不直接）。 右边BD·CE是两条线段的乘积，它们分别在AB和AC上。 观察图形，BD和CE是圆内的弦，而BF和FC在直径上。可能需要通过相似三角形将BD和CE与BF、FC联系起来。

步骤：

  1. 连接关键点：连接BE、CD。因为BC是直径，所以∠BEC = ∠BDC = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
  2. 利用直角三角形的性质：在Rt△BEC和Rt△BDC中，CF和BF分别是斜边上的高。 在Rt△BEC中，由射影定理：BC·BF = BE²。 (1) 在Rt△BDC中，由射影定理：BC·CF = CD²。 (2) 将(1)和(2)相乘：(BC·BF)·(BC·CF) = BE²·CD² => BC²·(BF·FC) = (BE·CD)²。 所以，BF·FC = (BE·CD)² / BC²。 (3)
  3. 目标转化：我们需要证明 BF·FC = BD·CE。根据(3)，这等价于证明 (BE·CD)² / BC² = BD·CE，即 (BE·CD)² = BD·CE·BC²。
  4. 寻找BE、CD、BD、CE、BC之间的关系：观察△BDE和△CDE。它们共享边DE，且∠BDE和∠CDE是邻补角。但更直接的是，因为∠BEC和∠BDC是直角，所以B、C、D、E四点共圆（以BC为直径的圆）。 在圆BCDE中，由相交弦定理：BD·BE = BC·BF？不对，相交弦定理是弦被交点分成的两段乘积相等。这里，弦BD和CE不相交于圆内。 我们需要其他关系。考虑△BDE和△CDE的面积或利用正弦定理。
  5. 利用正弦定理：在△BDE中，由正弦定理：BD/sin∠BED = BE/sin∠BDE = DE/sin∠DBE。 在△CDE中，由正弦定理：CE/sin∠CDE = CD/sin∠CED = DE/sin∠DCE。 注意∠BED和∠CED是邻补角，所以sin∠BED = sin∠CED。 同样，∠BDE和∠CDE是邻补角，sin∠BDE = sin∠CDE。 所以，由BD/sin∠BED = DE/sin∠DBE 和 CE/sin∠CED = DE/sin∠DCE，可得 BD/CE = sin∠DCE / sin∠DBE。 而∠DCE = ∠DBE（因为它们都对着弧DE），所以 sin∠DCE = sin∠DBE，因此 BD = CE？这显然不对，因为AB > AC，所以BD > CE。 错误：∠DCE和∠DBE都对着弧DE，所以它们相等，没错。但BD/CE = sin∠DCE / sin∠DBE = 1，所以BD=CE。这与题目条件AB>AC矛盾。说明我的正弦定理应用有误。 重新检查：在△BDE中，边BD的对角是∠BED，边BE的对角是∠BDE。在△CDE中，边CE的对角是∠CDE，边CD的对角是∠CED。 所以，BD/sin∠BED = BE/sin∠BDE = DE/sin∠DBE。 CE/sin∠CDE = CD/sin∠CED = DE/sin∠DCE。 因为∠BED + ∠CED = 180°，所以 sin∠BED = sin∠CED。 因为∠BDE + ∠CDE = 180°，所以 sin∠BDE = sin∠CDE。 因此，由BD/sin∠BED = DE/sin∠DBE 和 CE/sin∠CDE = DE/sin∠DCE，可得 BD/CE = (sin∠BED / sin∠CDE) × (sin∠DCE / sin∠DBE) = (sin∠BED / sin∠BDE) × (sin∠DCE / sin∠DBE)。 因为∠BED = ∠BCD（圆周角），∠BDE = ∠BCE（圆周角），∠DCE = ∠DBE（圆周角），所以 sin∠BED = sin∠BCD，sin∠BDE = sin∠BCE，sin∠DCE = sin∠DBE。 所以 BD/CE = (sin∠BCD / sin∠BCE) × (sin∠DBE / sin∠DBE) = sin∠BCD / sin∠BCE。 在△BCE中，由正弦定理：sin∠BCE / BE = sin∠BEC / BC = 1/BC，所以 sin∠BCE = BE/BC。 在△BCD中，由正弦定理：sin∠BCD / BD = sin∠BDC / BC = 1/BC，所以 sin∠BCD = BD/BC。 因此，BD/CE = (BD/BC) / (BE/BC) = BD/BE。 所以，BD/CE = BD/BE => CE = BE。这又得出CE=BE，与AB>AC矛盾。 这说明题目可能有误，或者我的推理有误。 让我们重新审视题目条件：AB > AC，以BC为直径作圆，交AB、AC于D、E。因为AB > AC，且BC是直径，所以D和E的位置是确定的。通常，如果AB > AC，那么D比E更靠近B？不一定。 让我们画一个具体的图：设BC=2，圆心O在原点。设B(-1,0)，C(1,0)。设A在y轴正半轴，比如A(0, h)。那么AB = AC = √(1+h²)，这与AB>AC矛盾。所以A不能在y轴上。 设A(x_A, y_A)，y_A>0。直线AB和AC与圆的交点D和E。 由于计算复杂，我们换一种思路。

重新思考：利用圆幂定理和相似

  1. 因为BC是直径，所以∠BDC = ∠BEC = 90°。
  2. 考虑点F对圆的幂：因为F在直线BC上，且BC是直径，所以F对圆的幂为 BF·FC（如果F在圆外）或 -BF·FC（如果F在圆内）。这里F是DE与BC的交点，通常F在BC线段内部（因为D、E在AB、AC上，且三角形是锐角三角形），所以F在圆内，其幂为负值，但绝对值是BF·FC。
  3. 同时，F也在弦DE上，所以F对圆的幂也等于 DF·EF。 因此，BF·FC = DF·EF。 (1)
  4. 我们需要证明 BF·FC = BD·CE。结合(1)，这等价于证明 DF·EF = BD·CE。
  5. 观察△BDF和△CEF。它们不一定相似。但我们可以考虑△BDE和△CDF。 注意到∠BDF = ∠CDF（因为D在AB上，F在BC上，但∠BDF和∠CDF是邻补角？不，D、F、B、C不共线）。 关键构造：过点D作AC的平行线，交BC于G。 因为DG ∥ AC，所以 ∠BDG = ∠BAC，∠DGB = ∠ACB。 又因为∠BDC = 90°，所以∠BDG + ∠GDC = 90°。 在△ABC中，∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°。 因为DG ∥ AC，所以∠DGB = ∠ACB。 在△BDG中，∠BDG + ∠DBG + ∠DGB = 180° => ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，这恒成立。 这个构造似乎没有直接帮助。

另一种思路：利用面积比和梅涅劳斯定理

  1. 在△ABC中，直线DEF（D在AB上，E在AC上，F在BC上）是一条截线。由梅涅劳斯定理： (AF/FB) × (BD/DA) × (CE/EA) = 1。 (2) 这里注意：梅涅劳斯定理的线段是有向的，但在长度计算中，我们取绝对值，并注意点的顺序。标准形式是：对于△ABC，一条直线与三边（或其延长线）分别交于D、E、F，则 (AD/DB) × (BE/EC) × (CF/FA) = 1。这里我们的点是D在AB上，E在AC上，F在BC上，所以对应关系是：D对应AB边，E对应AC边，F对应BC边。所以公式应为：(AD/DB) × (CE/EA) × (BF/FC) = 1。 即：(AD/DB) × (CE/EA) × (BF/FC) = 1。 (2)
  2. 我们需要证明 BF·FC = BD·CE。 即证明 (BF/FC) = (BD·CE) / FC²？不对。 将目标式变形：BF·FC = BD·CE => (BF/FC) = (BD·CE) / FC²。这不好。 或者：BF·FC = BD·CE => (BF/BD) = (CE/FC)。
  3. 从梅涅劳斯定理(2)： (AD/DB) × (CE/EA) × (BF/FC) = 1。 所以，BF/FC = (DB/AD) × (EA/CE)。 (3)
  4. 我们需要将BD和CE联系起来。观察△ABD和△ACE。它们共享∠A，但其他角不一定相等。 因为∠BDC = 90°，所以∠BDA = 90°（因为D在AB上，所以∠BDA是平角减去∠BDC？不对，D、B、C不共线）。 重新画图：B、D、A共线，C、E、A共线，B、F、C共线。所以∠BDA是直线AB上的角，为180°。∠BDC是三角形BDC的角。 所以∠ADB = 180° - ∠BDC = 90°？不对，∠BDC是∠BDC，不是∠ADB。点D在AB上，所以∠ADB是平角，为180°。这没有帮助。

回到相似三角形： 因为∠BDC = 90°，所以△BDC是直角三角形，D是直角顶点。 因为∠BEC = 90°，所以△BEC是直角三角形，E是直角顶点。 在Rt△BDC中，由射影定理：BD² = BF·BC。 (4) 在Rt△BEC中，由射影定理：CE² = CF·BC。 (5) 将(4)和(5)相乘：BD²·CE² = BF·CF·BC²。 所以，BD·CE = √(BF·CF)·BC。 (6) 这仍然不是BF·CF = BD·CE。

我们可能误解了题目。题目是求证 BF·FC = BD·CE。让我们用具体数值验证。 设BC=2，圆心O(0,0)，B(-1,0)，C(1,0)。设A(0,2)。那么AB=AC=√5，与AB>AC矛盾。 设A(1,2)。那么AB = √((1+1)²+(2-0)²) = √(4+4)=√8=2√2。AC = √((1-1)²+(2-0)²)=2。所以AB>AC。 直线AB：过B(-1,0)和A(1,2)，方程：y = x+1。 直线AC：过C(1,0)和A(1,2)，方程：x=1。 圆方程：x²+y²=1。 求D：AB与圆的交点。将y=x+1代入x²+y²=1：x²+(x+1)²=1 => 2x²+2x+1=1 => 2x²+2x=0 => 2x(x+1)=0。所以x=0或x=-1。x=-1对应点B，所以D(0,1)。 求E：AC与圆的交点。x=1代入x²+y²=1 => 1+y²=1 => y=0。所以E(1,0)，即点C。这不对，因为E应该不同于C。说明A(1,2)时，AC与圆相切于C？因为AC是x=1，圆在x=1处只有点(1,0)，所以AC是切线。题目说交于D、E（不同于B、C），所以AC不能是切线。因此A不能在x=1上。 设A(0.5, 2)。那么AB = √((0.5+1)²+4) = √(2.25+4)=√6.25=2.5。AC = √((0.5-1)²+4)=√(0.25+4)=√4.25≈2.06。满足AB>AC。 直线AB：过B(-1,0)和A(0.5,2)，斜率k=(2-0)/(0.5+1)=2⁄1.5=4/3。方程：y = (4⁄3)(x+1)。 直线AC：过C(1,0)和A(0.5,2)，斜率k=(2-0)/(0.5-1)=2/(-0.5)=-4。方程：y = -4(x-1)。 求D：AB与圆的交点。将y=(4⁄3)(x+1)代入x²+y²=1： x² + (16⁄9)(x+1)² = 1 => 9x² + 16(x²+2x+1) = 9 => 9x²+16x²+32x+16=9 => 25x²+32x+7=0。 解：x = [-32 ± √(1024-700)]/50 = [-32 ± √324]/50 = [-32 ± 18]/50。 x1 = (-32+18)/50 = -14⁄50 = -0.28。x2 = (-32-18)/50 = -50⁄50 = -1（对应B）。 所以D的x坐标为-0.28，y = (4⁄3)(-0.28+1) = (4⁄3)(0.72) = 0.96。D(-0.28, 0.96)。 求E：AC与圆的交点。将y=-4(x-1)代入x²+y²=1： x² + 16(x-1)² = 1 => x² + 16(x²-2x+1) = 1 => 17x² - 32x + 16 = 1 => 17x² - 32x + 15 = 0。 解：x = [32 ± √(1024-1020)]/34 = [32 ± √4]/34 = [32 ± 2]/34。 x1 = 34⁄34=1（对应C）。x2 = 30⁄34 ≈ 0.882。 所以E的x坐标为0.882，y = -4(0.882-1) = -4(-0.118) = 0.472。E(0.882, 0.472)。 求F：DE与BC的交点。BC是x轴（y=0）。 直线DE：过D(-0.28, 0.96)和E(0.882, 0.472)。斜率k = (0.472-0.96)/(0.882+0.28) = (-0.488)/(1.162) ≈ -0.42。 方程：y - 0.96 = -0.42(x + 0.28)。令y=0：-0.96 = -0.42(x+0.28) => x+0.28 = 0.96⁄0.42 ≈ 2.2857 => x ≈ 2.0057。 所以F(2.0057, 0)。这不在BC线段上（B(-1,0), C(1,0)），而是在BC的延长线上。题目说“锐角三角形”，且F是DE与BC的交点，通常F在线段BC上。这里F在BC延长线上，说明我的A点选择可能不满足“锐角三角形”条件。检查∠A：AB·AC向量点积？AB=(1.5,2), AC=(0.5,2)，点积=0.75+4=4.75>0，所以∠A是锐角。∠B：BA=(-1.5,-2), BC=(2,0)，点积=-3，所以∠B是钝角。所以△ABC不是锐角三角形。题目要求锐角三角形，所以A点选择不当。

重新选择A点，使得三角形为锐角三角形。 设A(0, 1.5)。那么AB=AC=√(1+2.25)=√3.25≈1.803，不满足AB>AC。 设A(0.2, 1.5)。AB=√((0.2+1)²+1.5²)=√(1.44+2.25)=√3.69≈1.921。AC=√((0.2-1)²+1.5²)=√(0.64+2.25)=√2.89=1.7。满足AB>AC。 检查角度：AB=(1.2,1.5), AC=(-0.8,1.5)，点积=1.2*(-0.8)+1.5*1.5 = -0.96+2.25=1.29>0，∠A锐角。 BA=(-1.2,-1.5), BC=(1.2,0)，点积=-1.44<0，∠B钝角。还是不行。 要使∠B为锐角，需要BA·BC>0。BA=(-x_A-1, -y_A)，BC=(2,0)，点积=2(-x_A-1)>0 => -x_A-1>0 => x_A<-1。但A在y轴右侧，x_A>0，矛盾。所以如果B在(-1,0)，C在(1,0)，那么∠B不可能是锐角，因为A在y轴右侧时，BA向量指向左下方，BC向量指向右，点积为负。要使∠B为锐角，A必须在y轴左侧，但那样AB可能小于AC。 这说明以BC为直径的圆，如果A在圆外，那么∠B和∠C都是锐角吗？ 不，直径所对的圆周角是直角，所以如果A在圆上，∠A是直角。如果A在圆外，∠A是锐角？不一定。 实际上，对于圆外一点A，如果A在圆外，那么∠BAC是锐角还是钝角取决于A的位置。但要使△ABC是锐角三角形，需要∠A、∠B、∠C都是锐角。以BC为直径，∠B和∠C是锐角的条件是A在圆外且使得AB和AC与圆相交。但根据几何性质，如果BC是直径，那么∠B和∠C都是锐角当且仅当A在圆外且使得AB和AC与圆相交于两点（不同于B、C）。但我的计算显示∠B是钝角，这可能是因为A的x坐标太小。 设A(-0.2, 1.5)。那么AB=√((-0.2+1)²+1.5²)=√(0.64+2.25)=√2.89=1.7。AC=√((-0.2-1)²+1.5²)=√(1.44+2.25)=√3.69≈1.921。此时ABAC且∠B为锐角，A必须在y轴左侧但靠近y轴？设A(-0.1, 1.5)。AB=√((-0.1+1)²+1.5²)=√(0.81+2.25)=√3.06≈1.749。AC=√((-0.1-1)²+1.5²)=√(1.21+2.25)=√3.46≈1.860。还是ABAC，A必须在y轴右侧，但此时∠B是钝角。因此，不存在以BC为直径的圆，使得△ABC是锐角三角形且AB>AC。题目条件“锐角三角形”可能有误，或者“以BC为直径”是误导。

重新审视题目：可能题目中的圆不是以BC为直径，而是任意圆？但题目明确说“以BC为直径”。或者，三角形不是锐角三角形？但题目写了“锐角三角形”。 可能题目是：在圆内接四边形ABCD中，AB>AC，以BC为直径作圆… 但题目是三角形。 另一种可能：圆是以BC为直径，但三角形ABC不是锐角三角形，题目中的“锐角三角形”是笔误。我们忽略“锐角三角形”条件，继续用之前的数值例子（A(0.5,2)），虽然∠B是钝角，但我们可以计算验证结论。 在之前的数值例子中，A(0.5,2)，B(-1,0)，C(1,0)，D(-0.28,0.96)，E(0.882,0.472)，F(2.0057,0)。 计算BD：B(-1,0)到D(-0.28,0.96)的距离：√((0.72)²+(0.96)²)=√(0.5184+0.9216)=√1.44=1.2。 计算CE：C(1,0)到E(0.882,0.472)的距离：√((-0.118)²+(0.472)²)=√(0.013924+0.222784)=√0.236708≈0.4865。 计算BF：B(-1,0)到F(2.0057,0)的距离：3.0057。 计算FC：F(2.0057,0)到C(1,0)的距离：1.0057。 计算BF·FC = 3.0057 × 1.0057 ≈ 3.023。 计算BD·CE = 1.2 × 0.4865 ≈ 0.5838。 两者不相等。所以结论不成立。

因此，题目可能有误。常见的正确结论可能是 BF·FC = BD·CE / (AB·AC) 或其他形式。或者，F是DE与BC的交点，但结论是 BF·FC = BD·CE / (AB·AC)？我们来检查。 在我们的例子中，AB=2.5，AC≈2.06，BD·CE/(AB·AC) = 0.5838/(2.5*2.06)≈0.5838⁄5.15≈0.113，不等于3.023。 或者，结论可能是 BF·FC = BD·CE / (BC²)？0.5838⁄4=0.1459，不对。 可能正确的结论是：BF·FC = BD·CE / (AB·AC) * BC²？太复杂。

放弃这个例子，我们换一个经典的、正确的题目。

例题3（修正）：在圆内接四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E。求证：AE·EC = BE·ED。这是相交弦定理，太简单。

例题3（修正为经典题）：设I是△ABC的内心，AI的延长线交△ABC的外接圆于点D。求证：DB = DC = DI。 这是一个经典的内心与外接圆的题目。

解析：

  1. 连接BI、CI。因为I是内心，所以BI平分∠ABC，CI平分∠ACB。
  2. 因为D在△ABC的外接圆上，所以∠DBC = ∠DAC（同弧DC所对的圆周角）。但∠DAC = ∠BAI（因为AI是角平分线），所以∠DBC = ∠BAI。
  3. 又因为∠BID = ∠BAI + ∠ABI（外角定理），而∠ABI = ∠IBC，所以∠BID = ∠BAI + ∠IBC。
  4. 而∠DBI = ∠DBC + ∠IBC = ∠BAI + ∠IBC。
  5. 所以，∠BID = ∠DBI，因此BD = DI。
  6. 同理，可证CD = DI。
  7. 所以，DB = DC = DI。

技巧总结：

  • 内心与外接圆的结合：内心与外接圆的交点常常产生等腰三角形。
  • 角平分线与圆周角：利用角平分线性质和圆周角定理，寻找相等的角。
  • 外角定理：在三角形中，外角等于不相邻的两个内角之和，常用于证明角相等。

三、 解题技巧总结

  1. 基本定理烂熟于心：圆周角、切线、弦切角、圆幂定理、托勒密定理等是解题的武器库，必须熟练掌握。
  2. 构造辅助线：在圆的竞赛题中，构造辅助线是关键。常见的辅助线包括：
    • 连接半径（构造直角三角形）。
    • 连接切点与圆心（利用切线性质）。
    • 连接弦的端点与圆上其他点（构造相似三角形）。
    • 作平行线（转移角或比例）。
    • 利用对称性（圆是轴对称图形）。
  3. 代数化思想：当几何关系复杂时，可以引入坐标系或参数，将几何问题转化为代数问题。例如，用坐标法求解圆与直线的交点，或用参数表示线段长度。
  4. 多角度思考：一道题往往有多种解法。尝试从不同角度入手，比如综合法、解析法、向量法等，选择最简洁的方法。
  5. 特殊化与一般化：对于选择题或填空题，可以取特殊值（如特殊三角形、特殊位置）快速得到答案。对于证明题，先考虑特殊情况，再推广到一般情况。
  6. 模型识别：竞赛题常常是经典模型的变形。例如，“圆外一点引切线和割线”是切割线定理模型；“圆内接四边形”是托勒密定理模型；“内心与外接圆”是等腰三角形模型。识别模型能迅速找到解题方向。

四、 进阶训练建议

  1. 刷题：选择高质量的竞赛题集，如《奥数教程》、《数学奥林匹克小丛书》等，重点练习圆的综合题。
  2. 总结错题：建立错题本，分析每道错题的思维漏洞，是定理不熟、辅助线不会添，还是计算错误。
  3. 一题多解：对经典题目，尝试用至少两种方法解答，锻炼思维的灵活性。
  4. 研究真题：分析近十年国内外数学竞赛的真题，把握命题趋势和难度。
  5. 拓展知识：学习一些高等几何知识，如反演、射影几何等，这些工具在解决某些高难度竞赛题时非常有效。

通过系统的训练和深入的思考，圆的竞赛题将不再是难题，而是展现你数学才华的舞台。祝你在数学竞赛中取得优异成绩！