动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种强大的算法思想，广泛应用于解决优化问题。它通过将复杂问题分解为更小的子问题，并存储子问题的解，从而避免重复计算，提高算法效率。本文将深入探讨动态规划的精髓，并通过经典题目的解析，帮助读者轻松破解动态规划问题。
一、动态规划的核心思想
动态规划的核心思想可以概括为以下几点：
- 分解问题：将原问题分解为更小的子问题。
- 存储子问题结果：使用数组或其他数据结构存储子问题的结果，避免重复计算。
- 构建最优解：利用子问题的最优解来构建原问题的最优解。
二、动态规划的关键特性
- 重叠子问题：问题可以分解为许多重复的子问题。
- 最优子结构：一个问题的最优解由其子问题的最优解构成。
- 状态转移方程：描述如何从子问题的解构建更大问题的解。
三、动态规划的常见步骤
- 定义状态：用一个数组或矩阵表示状态。
- 确定状态转移方程：根据问题特点，找出状态转移方程。
- 初始化：确定边界条件，初始化状态数组。
- 填表顺序：确定填表的顺序，通常从边界开始向内填充。
- 返回结果：根据状态数组，返回最终结果。
四、经典题目解析
1. 斐波那契数列
问题描述：计算斐波那契数列的第 n 个数。
状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 1
代码示例：
function fibonacci(n) {
if (n < 1) return n;
const dp = [0, 1];
for (let i = 2; i < n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
2. 最长公共子序列（LCS）
问题描述：给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。
状态转移方程：
function longestCommonSubsequence(text1, text2) {
const m = text1.length;
const n = text2.length;
const dp = Array.from({ length: m + 1 }, () => Array(n + 1).fill(0));
for (let i = 1; i <= m; i++) {
for (let j = 1; j <= n; j++) {
if (text1[i - 1] === text2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
3. 字符串编辑距离
问题描述：给定两个字符串 word1 和 word2，计算将 word1 转换成 word2 使用的最少操作数。
状态转移方程：
function minDistance(word1, word2) {
const m = word1.length;
const n = word2.length;
const dp = Array.from({ length: m + 1 }, () => Array(n + 1).fill(0));
for (let i = 0; i <= m; i++) {
for (let j = 0; j <= n; j++) {
if (i === 0) {
dp[i][j] = j;
} else if (j === 0) {
dp[i][j] = i;
} else if (word1[i - 1] === word2[j - 1]) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
} else {
dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1;
}
}
}
return dp[m][n];
}
五、总结
通过以上经典题目的解析，我们可以看到动态规划在解决实际问题中的强大能力。掌握动态规划的精髓，可以帮助我们轻松破解各种优化问题。在学习动态规划的过程中，要注意以下几点：
- 理解动态规划的核心思想。
- 掌握动态规划的关键特性。
- 熟悉动态规划的常见步骤。
- 通过经典题目的练习，提高解题能力。
希望本文能帮助读者更好地掌握动态规划，轻松破解经典题目。