例1：函数问题
题目：已知函数\(f(x)=2x+1\)，求\(f(3)\)的值。
解答：将\(x=3\)代入函数\(f(x)=2x+1\)中，得\(f(3)=2\times3+1=7\)。
解题技巧：直接代入法，适用于简单的一元一次函数问题。
例2：几何问题
题目：在直角三角形ABC中，\(\angle A=90^\circ\)，\(AB=3\)，\(BC=4\)，求斜边AC的长度。
解答：根据勾股定理，\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\)。
解题技巧：勾股定理，适用于直角三角形问题。
例3：代数问题
题目：解方程\(2x-3=7\)。
解答：移项得\(2x=7+3\)，即\(2x=10\)，再除以2得\(x=5\)。
解题技巧：移项法，适用于一元一次方程问题。
例4：不等式问题
题目：解不等式\(3x-5>2\)。
解答：移项得\(3x>2+5\)，即\(3x>7\)，再除以3得\(x>\frac{7}{3}\)。
解题技巧：移项法，适用于一元一次不等式问题。
例5：数列问题
题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=2n+1\)，求\(a_5\)的值。
解答：将\(n=5\)代入通项公式得\(a_5=2\times5+1=11\)。
解题技巧：代入法，适用于数列问题。
例6：概率问题
题目：从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红桃的概率。
解答：红桃有13张，总共有52张牌，所以抽到红桃的概率为\(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)。
解题技巧：概率公式，适用于概率问题。
例7：几何问题
题目：在正方形ABCD中，\(AB=6\)，求对角线AC的长度。
解答：正方形的对角线长度等于边长的\(\sqrt{2}\)倍，所以\(AC=6\sqrt{2}\)。
解题技巧：正方形性质，适用于正方形问题。
例8：代数问题
题目：解方程组\(\begin{cases}x+y=5\\2x-3y=1\end{cases}\)。
解答：将第一个方程乘以2得\(2x+2y=10\)，与第二个方程相加得\(4x=11\)，解得\(x=\frac{11}{4}\)，代入第一个方程得\(y=\frac{9}{4}\)。
解题技巧：消元法，适用于二元一次方程组问题。
例9：不等式问题
题目：解不等式组\(\begin{cases}x+2>3\\x-1<2\end{cases}\)。
解答：将第一个不等式减去2得\(x>1\)，将第二个不等式加上1得\(x<3\)，所以不等式组的解集为\(1<x<3\)。
解题技巧：不等式组解法，适用于不等式组问题。
例10：数列问题
题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=3n^2-2n+1\)，求\(a_4\)的值。
解答：将\(n=4\)代入通项公式得\(a_4=3\times4^2-2\times4+1=37\)。
解题技巧：代入法，适用于数列问题。
例11：概率问题
题目：从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到黑桃的概率。
解答：黑桃有13张，总共有52张牌，所以抽到黑桃的概率为\(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)。
解题技巧：概率公式，适用于概率问题。
例12：几何问题
题目：在等腰三角形ABC中，\(AB=AC=6\)，\(BC=8\)，求\(\angle BAC\)的度数。
解答：作高AD，\(AD\perp BC\)，则\(\triangle ABD\)和\(\triangle ACD\)为等腰直角三角形，所以\(\angle ABD=\angle ACD=45^\circ\)，\(\angle BAC=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ\)。
解题技巧：等腰三角形性质，适用于等腰三角形问题。
例13：代数问题
题目：解方程\(\frac{2}{x}-\frac{3}{x+1}=1\)。
解答：通分得\(\frac{2(x+1)-3x}{x(x+1)}=1\)，化简得\(x=-4\)。
解题技巧：分式方程解法，适用于分式方程问题。
例14：不等式问题
题目：解不等式\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}<0\)。
解答：通分得\(\frac{x+1-x}{x(x+1)}<0\)，化简得\(x>0\)。
解题技巧：分式不等式解法，适用于分式不等式问题。
例15：数列问题
题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=\frac{1}{2^n}\)，求\(a_5\)的值。
解答：将\(n=5\)代入通项公式得\(a_5=\frac{1}{2^5}=\frac{1}{32}\)。
解题技巧：代入法，适用于数列问题。
例16：概率问题
题目：从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到方块的概率。
解答：方块有13张，总共有52张牌，所以抽到方块的概率为\(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)。
解题技巧：概率公式，适用于概率问题。
例17：几何问题
题目：在等边三角形ABC中，\(AB=AC=BC=6\)，求\(\angle A\)的度数。
解答：等边三角形的每个内角都是\(60^\circ\)。
解题技巧：等边三角形性质，适用于等边三角形问题。
例18：代数问题
题目：解方程\(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=2\)。
解答：移项得\(\sqrt{x+1}=2-\sqrt{x-1}\)，平方得\(x+1=4-4\sqrt{x-1}+x-1\)，化简得\(\sqrt{x-1}=\frac{3}{4}\)，平方得\(x-1=\frac{9}{16}\)，解得\(x=\frac{25}{16}\)。
解题技巧：根式方程解法，适用于根式方程问题。
例19：不等式问题
题目：解不等式\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}<0\)。
解答：移项得\(\sqrt{x+1}<\sqrt{x-1}\)，平方得\(x+1<x-1\)，化简得\(2<0\)，显然不成立。
解题技巧：根式不等式解法，适用于根式不等式问题。
例20：数列问题
题目：已知数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_n=n^2+1\)，求\(a_6\)的值。
解答：将\(n=6\)代入通项公式得\(a_6=6^2+1=37\)。
解题技巧：代入法，适用于数列问题。