在中考这场重要的人生考试中，数学科目往往扮演着举足轻重的角色。每年中考的数学试卷都会有一些极具挑战性的题目，这些难题不仅考验学生的数学基础，更考验他们的逻辑思维和解题技巧。今天，我们就来揭秘第339期中考数学试卷中的一道难题，并探讨相应的解题策略。

难题呈现

假设有一个等差数列{an}，它的前三项分别为1、3、5，且这个数列的前n项和为Sn。现有一个新数列{bn}，它是等差数列{an}的前n项和的两倍，即bn = 2Sn。若新数列{bn}的第m项为50，求原等差数列{an}的第m项是多少？

解题思路

解题时，我们首先需要理解等差数列和等差数列的前n项和的基本概念。

  1. 等差数列的基本性质：等差数列的任意相邻两项之差是常数，记为d。
  2. 等差数列的前n项和：对于首项为a1，公差为d的等差数列，它的前n项和Sn可以用公式表示为：[ S_n = \frac{n(2a_1 + (n - 1)d)}{2} ]

基于这些基础知识，我们可以开始解题。

解题步骤

  1. 确定等差数列{an}的公差：由题意知，前三项分别为1、3、5，因此公差d = 3 - 1 = 2。

  2. 推导等差数列{an}的通项公式：首项a1 = 1，公差d = 2，所以通项公式为[ a_n = 1 + (n - 1) \times 2 ]

  3. 推导等差数列{an}的前n项和Sn：使用前述的等差数列前n项和公式，得到[ S_n = \frac{n(2 \times 1 + (n - 1) \times 2)}{2} ]

  4. 计算新数列{bn}的第m项：新数列{bn}的定义为bn = 2Sn，将Sn代入得到[ b_n = n(2 \times 1 + (n - 1) \times 2) ]

  5. 求解m的值：已知bn的第m项为50，代入上述公式解出m。

  6. 求出原等差数列{an}的第m项：将m代入an的通项公式求解。

代码实现

以下是使用Python语言进行计算的代码示例：

# 定义函数计算等差数列的第m项
def nth_term_arithmetic_sequence(m, a1, d):
    return a1 + (m - 1) * d

# 已知首项a1, 公差d
a1 = 1
d = 2

# 定义函数计算等差数列的前n项和
def sum_of_arithmetic_sequence(n, a1, d):
    return n * (2 * a1 + (n - 1) * d) // 2

# 已知bn的第m项为50
b_m = 50

# 计算等差数列的前n项和
n = 1
while True:
    S_n = sum_of_arithmetic_sequence(n, a1, d)
    b_n = S_n * 2
    if b_n == b_m:
        break
    n += 1

# 计算等差数列{an}的第m项
m = n
a_m = nth_term_arithmetic_sequence(m, a1, d)

print(f"原等差数列{a1}的第{m}项是{a_m}")

通过上述步骤和代码，我们就可以解出原等差数列{an}的第m项。这个过程不仅帮助我们理解了如何解决这类数学难题，也加深了我们对于等差数列性质的认识。