引言

1996年，甘肃高考数学试卷中出现了多道颇具挑战性的题目，这些题目不仅考验了考生的数学知识，更考验了他们的解题技巧和思维能力。本文将带您回顾这些难题，分析其背后的数学原理，并探讨考生在面对这些挑战时的应对策略。

难题回顾

题目一：函数与导数

题目描述：已知函数\(f(x) = x^3 - 3x + 2\)，求\(f'(x)\)，并求\(f(x)\)在区间\([-1, 2]\)上的最大值和最小值。

解题思路：

  1. 对函数\(f(x)\)求导得到\(f'(x) = 3x^2 - 3\)。
  2. 令\(f'(x) = 0\)，解得\(x = \pm 1\)。
  3. 分析\(f'(x)\)在区间\([-1, 2]\)上的符号，确定\(f(x)\)的增减性。
  4. 计算\(f(-1)\)，\(f(1)\)，\(f(2)\)的值，得到\(f(x)\)在区间\([-1, 2]\)上的最大值和最小值。

题目二：数列与不等式

题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\)，求证数列\(\{a_n\}\)的单调性和有界性。

解题思路：

  1. 证明数列\(\{a_n\}\)单调递增：由题意得\(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{a_n} > 0\)，因此数列\(\{a_n\}\)单调递增。
  2. 证明数列\(\{a_n\}\)有界：由\(a_{n+1} - a_n = \frac{1}{a_n}\)得\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n} < a_n + 1\)，因此数列\(\{a_n\}\)有界。

考生挑战之路

面对这些难题，考生需要具备以下能力：

  1. 扎实的数学基础：对函数、数列、导数等基础知识要熟练掌握。
  2. 灵活的解题技巧：能够根据题目特点选择合适的解题方法。
  3. 良好的思维能力：能够从题目中提取关键信息，进行逻辑推理。
  4. 足够的耐心和信心：面对难题时，保持冷静，逐步分析，直至解决问题。

总结

1996年甘肃高考数学的难题，不仅考验了考生的数学能力，也展现了他们面对挑战的勇气和智慧。通过对这些难题的分析，我们可以更好地理解数学的本质，提高自己的数学素养。