引言
2003年的高考数学试卷，因其独特的题型和难度，被誉为“台风来袭”。其中，一道数学难题更是引发了广泛讨论和关注。本文将带领大家回顾这一道数学难题，并揭秘其背后的故事。
数学难题回顾
2003年高考数学试卷中的一道难题如下：
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x+1\)，求证：对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。
难题解析
1. 题目分析
这道题目要求证明一个三次函数的值始终大于等于0。对于这类问题，我们通常需要从函数的性质入手，分析函数的极值点，进而判断函数的值域。
2. 解题步骤
（1）求导
首先，我们对函数\(f(x)=x^3-3x+1\)求导，得到\(f'(x)=3x^2-3\)。
（2）求极值点
令\(f'(x)=0\)，解得\(x=\pm 1\)。因此，函数的极值点为\(x=-1\)和\(x=1\)。
（3）判断极值
将\(x=-1\)和\(x=1\)代入原函数，得到\(f(-1)=3\)和\(f(1)=-1\)。由此可知，\(x=-1\)是函数的极大值点，\(x=1\)是函数的极小值点。
（4）判断函数值域
由于函数在\(x=-1\)处取得极大值，在\(x=1\)处取得极小值，且\(f(-1)=3>0\)，\(f(1)=-1<0\)。因此，函数的值域为\((-\infty, 0)\cup[3, +\infty)\)。但是，题目要求证明对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。因此，我们需要证明\(f(x)\)在\(x=1\)附近的值始终大于等于0。
（5）证明\(f(x)\geq 0\)
对于\(x=1\)附近的任意实数\(x_0\)，我们有\(f(x_0)=x_0^3-3x_0+1\)。由于\(x_0\)接近1，我们可以将\(f(x_0)\)展开为\(f(x_0)=(x_0-1)^3+2\)。显然，\((x_0-1)^3\)是一个三次项，当\(x_0\)接近1时，其值接近0。因此，\(f(x_0)\)在\(x=1\)附近的值始终大于等于2。
综上所述，我们证明了对于任意实数\(x\)，都有\(f(x)\geq 0\)。
难题背后的故事
这道数学难题的来源尚不明确，但我们可以从以下几个方面进行推测：
1. 考试命题者的意图
这道题目旨在考察学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。通过这道题目，命题者希望引导学生关注函数的性质，学会运用导数、极值等数学工具进行解题。
2. 数学教育的启示
这道题目反映了我国高考数学命题的难度和深度。在今后的数学教育中，我们应该注重培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，提高学生的综合素质。
3. 数学难题的传承
这道数学难题成为了高考历史上的经典题目，被广大师生传颂。它不仅激发了学生对数学的兴趣，也为我国数学教育的发展提供了宝贵的经验。
总结
2003年高考数学试卷中的一道难题，以其独特的题型和难度，成为了高考历史上的经典。通过对这道题目的解析，我们不仅了解了数学难题的解题方法，还揭示了数学难题背后的故事。希望这篇文章能够帮助大家更好地理解这道数学难题，激发对数学的兴趣。