引言

2003年的高考数学试卷，被誉为“史上最难”的高考数学试卷。其中，压轴题更是让无数考生望而生畏。本文将深入剖析这一难题，揭秘其背后的数学原理和解题技巧。

难题解析

题目回顾

2003年高考数学试卷的最后一题，是一道圆锥曲线问题。题目如下：

设椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的右焦点为 \(F_1\)，左焦点为 \(F_2\)，直线 \(x = a\) 与椭圆相交于点 \(A\)，\(B\)，点 \(P\) 在椭圆上运动，且 \(F_1P = 2PF_2\)，直线 \(PF_1\) 与 \(x\) 轴交于点 \(Q\)，直线 \(PF_2\) 与 \(x\) 轴交于点 \(R\)，若 \(PQ = 4\)，\(PR = 6\)，求椭圆的离心率。

解题思路

  1. 解析几何法：利用椭圆的定义，结合解析几何的知识，建立方程组求解。
  2. 向量法：利用向量运算，将题目中的距离关系转化为向量形式，求解椭圆的离心率。

解题步骤

解析几何法

  1. 建立方程组：由椭圆的定义，得到 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。又因为 \(F_1P = 2PF_2\)，所以 \(PF_1 = \frac{2a}{3}\)，\(PF_2 = \frac{a}{3}\)。设 \(F_1(a, 0)\)，\(F_2(-a, 0)\)，则点 \(P\) 的坐标为 \((x, y)\)。
  2. 求解 \(x\) 和 \(y\)：将 \(PF_1 = \frac{2a}{3}\)，\(PF_2 = \frac{a}{3}\) 代入椭圆方程，解得 \(x\) 和 \(y\)。
  3. 求离心率：由椭圆的离心率公式 \(e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}\)，代入 \(x\) 和 \(y\) 的值，求出椭圆的离心率。

向量法

  1. 建立向量关系：由 \(PQ = 4\)，\(PR = 6\)，得到向量 \(\overrightarrow{PF_1} = 2\overrightarrow{PF_2}\)，即 \(\overrightarrow{PF_1} = 2\overrightarrow{PQ}\)，\(\overrightarrow{PF_2} = \overrightarrow{PR}\)。
  2. 求解向量坐标：设 \(Q(x_1, 0)\)，\(R(x_2, 0)\)，由向量关系可得 \(x_1 = \frac{a}{3}\)，\(x_2 = -\frac{2a}{3}\)。
  3. 求离心率：由椭圆的离心率公式 \(e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}\)，代入 \(x_1\) 和 \(x_2\) 的值，求出椭圆的离心率。

结论

2003年高考数学的最后一题，以其复杂的数学原理和解题技巧，成为了高考历史上的经典难题。通过解析几何法和向量法，我们可以找到解决这一难题的思路。希望本文能帮助读者更好地理解这一难题，提升数学思维能力。