引言

高考作为中国最重要的升学考试之一，其数学试题历来备受关注。2003年的高考数学试题以其难度适中、题型丰富而著称。本文将带您重温2003年的高考数学经典题目，并解析解题技巧与策略。

一、选择题解析

题目一：函数的图像

题目：已知函数\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)，其图像的对称轴为______。

解析：

  1. 函数\(f(x) = x^2 - 4x + 3\)是一元二次函数，其一般形式为\(f(x) = ax^2 + bx + c\)。
  2. 对称轴的公式为\(x = -\frac{b}{2a}\)。
  3. 将题目中的系数代入公式，得\(x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2\)。

答案：对称轴为\(x = 2\)。

题目二：数列求和

题目：数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_1 = 1\)，\(a_2 = 3\)，且\(S_n = 2^n - 1\)，则\(a_3 = ______\)。

解析：

  1. 根据数列的定义，\(S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n\)。
  2. 已知\(S_n = 2^n - 1\)，代入\(n = 1\)和\(n = 2\)，得\(a_1 = 1\)，\(a_1 + a_2 = 3\)。
  3. 解得\(a_2 = 2\)。
  4. 由数列的递推关系\(a_n = S_n - S_{n-1}\)，得\(a_3 = S_3 - S_2\)。
  5. 代入\(S_3 = 2^3 - 1 = 7\)，\(S_2 = 2^2 - 1 = 3\)，得\(a_3 = 7 - 3 = 4\)。

答案：\(a_3 = 4\)。

二、填空题解析

题目三：概率问题

题目：从0到9这10个数字中随机抽取两个不同的数字，组成的两位数的概率为______。

解析：

  1. 所有可能的两位数共有\(10 \times 9 = 90\)个。
  2. 从0到9中抽取两个不同的数字，共有\(C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45\)种组合。
  3. 因此，所求概率为\(\frac{45}{90} = \frac{1}{2}\)。

答案：概率为\(\frac{1}{2}\)。

三、解答题解析

题目四：立体几何问题

题目：已知正方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)的棱长为2，求点\(A\)到平面\(B_1C_1D_1\)的距离。

解析：

  1. 连接\(A_1B_1\)，\(A_1D_1\)，\(B_1D_1\)，得\(A_1B_1D_1\)为正方形。
  2. 由正方体的性质，\(A_1B_1 = A_1D_1 = B_1D_1 = 2\)。
  3. \(A_1B_1D_1\)为正方形，\(A_1B_1 = B_1D_1\)，所以\(\angle A_1B_1D_1 = 90^\circ\)。
  4. 由勾股定理，\(A_1D_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1D_1^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}\)。
  5. \(A_1D_1\)为正方体的对角线，所以\(A_1D_1 = 2\sqrt{3}\)。
  6. 点\(A\)到平面\(B_1C_1D_1\)的距离等于\(A_1D_1\)的一半，即\(\frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)。

答案：点\(A\)到平面\(B_1C_1D_1\)的距离为\(\sqrt{3}\)。

总结

通过以上对2003年高考数学题的解析，我们可以看到，解题的关键在于对基础知识的掌握和灵活运用。在备考过程中，我们要注重基础知识的积累，同时也要学会运用各种解题技巧和策略。