引言
2003年，复旦大学数学系出了一道令人瞩目的数学难题，这道题目不仅引发了数学界的广泛讨论，也吸引了众多数学爱好者的关注。本文将深入解析这道难题，探讨其背后的数学原理和解题思路。
题目回顾
题目如下：
设函数\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)，求证：对于任意正整数\(n\)，存在正整数\(p\)和\(q\)，使得\(f(p^n) = q^n\)。
数学原理
要解决这个问题，我们首先需要了解一些基本的数学原理。
1. 代数基本定理
代数基本定理指出，任何非零的复系数多项式最多有与其实数系数相同的根。
2. 代数数
一个数如果是某个有理系数多项式的根，那么这个数被称为代数数。
3. 欧拉公式
欧拉公式是复分析中的一个基本公式，它建立了复指数函数与三角函数之间的关系。
解题思路
1. 确定根的性质
首先，我们需要确定\(f(x)\)的根的性质。由于\(f(x)\)是一个三次多项式，根据代数基本定理，它最多有三个根。
2. 寻找特定的根
接下来，我们需要寻找满足\(f(p^n) = q^n\)的根。根据题目要求，这个根必须是正整数。
3. 应用欧拉公式
由于我们需要找到的是正整数根，我们可以尝试使用欧拉公式来简化问题。
解题步骤
1. 分析\(f(x)\)的根
首先，我们观察\(f(x)\)的根。由于\(f(x)\)是一个三次多项式，我们可以通过求解\(f(x) = 0\)来找到它的根。
2. 使用欧拉公式
然后，我们使用欧拉公式将\(f(x)\)中的根表示为复数形式。具体来说，我们可以将\(f(x)\)的根表示为\(re^{i\theta}\)的形式，其中\(r\)是根的模，\(\theta\)是根的辐角。
3. 寻找满足条件的根
最后，我们需要找到满足\(f(p^n) = q^n\)的根。为此，我们可以将\(f(x)\)的根代入上述公式，并尝试找到满足条件的整数\(p\)和\(q\)。
例子
假设我们找到了一个根\(r\)，那么我们可以将其表示为\(r = |r|e^{i\theta}\)。接下来，我们需要找到满足\(f(p^n) = q^n\)的整数\(p\)和\(q\)。
1. 代入公式
将\(r\)代入\(f(x)\)中，我们得到：
\[f(re^{i\theta}) = (re^{i\theta})^3 - 3(re^{i\theta}) + 1\]
2. 简化公式
通过简化上述公式，我们可以得到：
\[f(re^{i\theta}) = r^3e^{3i\theta} - 3re^{i\theta} + 1\]
3. 寻找整数解
接下来，我们需要找到满足\(f(p^n) = q^n\)的整数\(p\)和\(q\)。为此，我们可以尝试将\(r\)表示为\(p^n\)的形式，并找到对应的\(q^n\)。
结论
2003年复旦数学难题是一道极具挑战性的题目。通过深入分析题目背后的数学原理和解题思路，我们可以更好地理解这道题目，并从中获得宝贵的数学经验。