引言
高考作为我国教育体系中的重要一环，每年都会为考生们带来各种各样的挑战。2012年高考浙江卷数学试题中，就有一道备受瞩目的难题，它不仅考验了考生的数学基础知识，更是对他们逻辑思维和解决问题能力的极大挑战。本文将深入解析这道数学难题，帮助读者了解其解题思路和方法。
难题呈现
2012年高考浙江卷数学试题中的一道难题如下：
设函数\(f(x)=\sin x + ax\)，其中\(a\)为常数。若\(f(x)\)在区间\([0, \pi]\)上存在最大值，则实数\(a\)的取值范围是：
A. \((-\infty, -1]\)
B. \((-1, 0]\)
C. \([0, +\infty)\)
D. \((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)
解题思路
要解决这个问题，我们首先需要了解函数\(f(x)\)的性质，以及如何确定其在指定区间上的最大值。以下是解题的详细步骤：
步骤一：求导数
首先，我们需要求出函数\(f(x)\)的导数\(f'(x)\)，以便分析其单调性。
\[f'(x) = \cos x + a\]
步骤二：分析导数
接下来，我们需要分析导数\(f'(x)\)的符号，以确定函数\(f(x)\)在区间\([0, \pi]\)上的单调性。
- 当\(a \geq 1\)时，由于\(\cos x \leq 1\)，则\(f'(x) \geq 0\)，即\(f(x)\)在\([0, \pi]\)上单调递增。此时，函数\(f(x)\)在区间\([0, \pi]\)上不存在最大值。
- 当\(a \leq -1\)时，由于\(\cos x \leq 1\)，则\(f'(x) \leq 0\)，即\(f(x)\)在\([0, \pi]\)上单调递减。此时，函数\(f(x)\)在区间\([0, \pi]\)上不存在最大值。
- 当\(-1 < a < 1\)时，我们需要进一步分析\(f'(x)\)的符号。
步骤三：分类讨论
当\(-1 < a < 1\)时，我们需要分别考虑以下两种情况：
- 当\(0 \leq x < \arccos a\)时，\(\cos x > a\)，则\(f'(x) > 0\)，即\(f(x)\)在区间\([0, \arccos a]\)上单调递增。
- 当\(\arccos a \leq x \leq \pi\)时，\(\cos x \leq a\)，则\(f'(x) \leq 0\)，即\(f(x)\)在区间\([\arccos a, \pi]\)上单调递减。
因此，函数\(f(x)\)在\(x = \arccos a\)处取得最大值。
步骤四：确定最大值
由于\(f(x)\)在\(x = \arccos a\)处取得最大值，我们可以将\(x = \arccos a\)代入\(f(x)\)中，得到：
\[f(\arccos a) = \sin(\arccos a) + a\arccos a = \sqrt{1-a^2} + a\arccos a\]
为了使\(f(x)\)在区间\([0, \pi]\)上存在最大值，我们需要满足以下条件：
\[f(\arccos a) \geq f(0) \quad \text{且} \quad f(\arccos a) \geq f(\pi)\]
代入\(f(0) = \sin 0 + a \cdot 0 = 0\)和\(f(\pi) = \sin \pi + a \cdot \pi = a\pi\)，得到：
\[\sqrt{1-a^2} + a\arccos a \geq 0 \quad \text{且} \quad \sqrt{1-a^2} + a\arccos a \geq a\pi\]
解得\(a \in [-1, 0]\)。
结论
综上所述，实数\(a\)的取值范围为\([-1, 0]\)。因此，本题的正确答案为选项B：\((-1, 0]\)。
通过对这道数学难题的解析，我们不仅了解了函数的性质，还学会了如何分析导数、分类讨论以及确定函数的最大值。这道题目不仅考验了考生的数学基础知识，更锻炼了他们的逻辑思维和问题解决能力。