引言

2015年辽宁高考数学卷以其难度和深度著称，吸引了众多考生和教师的关注。本文将深入剖析2015年辽宁高考数学卷中的难题，并探讨考生在备考过程中应采取的策略。

一、数学难题解析

1. 难题一：解析几何题

题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，\(P\) 是椭圆上的一点，且 \(\angle F_1PF_2=120^\circ\)。求 \(\sin \angle F_1PF_2\) 的值。

解题思路：

  • 利用椭圆的定义，求出 \(PF_1\) 和 \(PF_2\) 的长度。
  • 利用余弦定理求出 \(\cos \angle F_1PF_2\)。
  • 利用正弦定理求出 \(\sin \angle F_1PF_2\)。

代码示例（Python）：

import math

# 椭圆参数
a = 5
b = 3
c = math.sqrt(a**2 - b**2)

# 焦点坐标
F1 = [-c, 0]
F2 = [c, 0]

# 假设P点坐标为(2, 3)
P = [2, 3]

# 计算PF1和PF2的长度
PF1 = math.sqrt((P[0] - F1[0])**2 + (P[1] - F1[1])**2)
PF2 = math.sqrt((P[0] - F2[0])**2 + (P[1] - F2[1])**2)

# 利用余弦定理求cos∠F1PF2
cos_angle = (PF1**2 + PF2**2 - F1[0]**2 - F2[0]**2) / (2 * PF1 * PF2)

# 利用正弦定理求sin∠F1PF2
sin_angle = math.sqrt(1 - cos_angle**2)

sin_angle

2. 难题二：数列题

题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，且 \(S_n = 3^n - 1\)。求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n}\) 的值。

解题思路：

  • 利用数列的定义求出 \(a_n\)。
  • 利用极限的定义求出 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{S_n}\)。

代码示例（Python）：

# 数列前n项和
def S_n(n):
    return 3**n - 1

# 数列第n项
def a_n(n):
    if n == 1:
        return 2
    else:
        return S_n(n) - S_n(n - 1)

# 求极限
def limit_a_n():
    n = 1
    a_n_value = a_n(n)
    S_n_value = S_n(n)
    while abs(a_n_value / S_n_value - 1) > 1e-6:
        n += 1
        a_n_value = a_n(n)
        S_n_value = S_n(n)
    return a_n_value / S_n_value

limit_a_n()

二、考生备考策略

1. 熟悉高考数学大纲和考试要求

考生在备考过程中，首先要熟悉高考数学大纲和考试要求，明确考试内容和题型。

2. 加强基础知识的学习

高考数学考试注重基础知识，考生要加强对基础知识的掌握，如函数、数列、几何等。

3. 提高解题技巧

考生要注重解题技巧的培养，如归纳推理、类比推理、特殊值法等。

4. 做好模拟题和真题训练

考生要通过做模拟题和真题来检验自己的学习成果，找出自己的不足之处，并及时进行改进。

5. 保持良好的心态

高考是一场心理和生理的较量，考生要保持良好的心态，调整好作息时间，确保在考试中发挥出最佳水平。

结语

2015年辽宁高考数学卷的难题为考生提供了丰富的解题思路，考生在备考过程中要注重基础知识的学习和解题技巧的培养，同时保持良好的心态，才能在高考中取得优异的成绩。