引言

数学，作为一门逻辑严谨的学科，常常以其独特的魅力和挑战性吸引着无数求知者。在各类数学竞赛和模拟考试中，数学难题往往能够考验学生的思维深度和广度。本文将以2016年温州二模中的一道数学难题为例，深入解析其解题思路和方法，旨在激发读者的解题智慧。

难题呈现

假设在一个平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(5,1)的连线与x轴的交点为点C，点D在x轴上，且满足|AD|=|BD|。求点D的坐标。

解题思路

  1. 构建方程：首先，我们需要根据题目条件构建方程。由于|AD|=|BD|，我们可以利用两点之间的距离公式来表示这个关系。

  2. 求解交点：接着，我们需要求出点C的坐标。由于点C是线段AB与x轴的交点，我们可以通过解方程组来找到点C的坐标。

  3. 求解点D：最后，我们需要找到满足条件的点D。这可以通过代入和化简方程来实现。

详细解题步骤

步骤一：构建方程

根据两点之间的距离公式，我们有：

[ |AD| = \sqrt{(x_D - 2)^2 + (y_D - 3)^2} ] [ |BD| = \sqrt{(x_D - 5)^2 + (y_D - 1)^2} ]

由于|AD|=|BD|，我们可以得到以下方程：

[ (x_D - 2)^2 + (y_D - 3)^2 = (x_D - 5)^2 + (y_D - 1)^2 ]

步骤二：求解交点C

点C是线段AB与x轴的交点，因此其y坐标为0。我们可以通过解以下方程组来找到点C的x坐标：

[ \frac{y_C - 1}{x_C - 5} = \frac{3 - 1}{2 - 5} ] [ y_C = 0 ]

解这个方程组，我们可以得到点C的坐标。

步骤三：求解点D

将点C的坐标代入步骤一中得到的方程，我们可以解出点D的坐标。

代码实现

以下是用Python代码实现上述解题步骤的示例：

from sympy import symbols, Eq, solve, sqrt

# 定义变量
x_D, y_D = symbols('x_D y_D')

# 构建方程
equation = Eq((x_D - 2)**2 + (y_D - 3)**2, (x_D - 5)**2 + (y_D - 1)**2)

# 求解点C的坐标
x_C, y_C = symbols('x_C y_C')
equation_C = Eq(y_C - 1, (3 - 1)/(2 - 5) * (x_C - 5))
equation_C_y = Eq(y_C, 0)
solution_C = solve([equation_C, equation_C_y], (x_C, y_C))

# 求解点D的坐标
solution_D = solve(equation.subs({x_C: solution_C[0], y_C: solution_C[1]}), (x_D, y_D))

# 输出结果
print("点D的坐标为：", solution_D)

总结

通过以上解题过程，我们可以看到，解决数学难题需要扎实的数学基础和严谨的逻辑思维。通过构建方程、求解交点和代入化简等步骤，我们最终找到了满足条件的点D的坐标。这样的解题过程不仅能够帮助我们解决具体问题，还能够提升我们的数学思维和解题能力。