引言

数学作为一门基础学科，在各类考试中占据着重要地位。2017年鼓楼二模数学试卷中，不乏一些具有挑战性的难题。本文将针对这些难题进行详细解析，帮助读者掌握解题技巧，提升数学能力。

一、选择题解析

题目一：函数问题

题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求\(f(x)\)的极值。

解析：

  1. 求导数：\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。
  2. 令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。
  3. 判断极值：当\(x<\frac{2}{3}\)时，\(f'(x)>0\)；当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(f'(x)<0\)；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)。因此，\(x=\frac{2}{3}\)为极大值点，\(x=1\)为极小值点。
  4. 计算极值：\(f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{31}{27}\)，\(f(1)=2\)。

答案：极大值为\(\frac{31}{27}\)，极小值为\(2\)。

题目二：数列问题

题目：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1\)，求\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\)。

解析：

  1. 证明数列\(\{a_n\}\)单调递增：\(a_{n+1}-a_n=(a_n-1)^2\geq 0\)，因此数列\(\{a_n\}\)单调递增。
  2. 证明数列\(\{a_n\}\)有界：\(a_n\leq a_{n+1}\leq a_{n+2}\)，因此数列\(\{a_n\}\)有界。
  3. 由单调有界定理，\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\)存在，设\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a\)。
  4. 根据数列的递推关系，\(a=a^2-2a+1\)，解得\(a=1\)。

答案：\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=1\)。

二、填空题解析

题目一：概率问题

题目：从\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)中随机取三个不同的数，求这三个数组成的两位数是偶数的概率。

解析：

  1. 所有可能的两位数共有\(9\times 8=72\)个。
  2. 偶数的个位数有\(0\)，\(2\)，\(4\)，\(6\)，\(8\)共\(5\)个。
  3. 当个位数为偶数时，十位数有\(8\)种选择，因此有\(5\times 8=40\)个偶数。
  4. 概率为\(\frac{40}{72}=\frac{5}{9}\)。

答案：\(\frac{5}{9}\)。

题目二：几何问题

题目：已知等腰三角形\(ABC\)的底边\(BC=4\)，顶角\(A=120^\circ\)，求\(AB+AC\)的值。

解析：

  1. 作\(AD\perp BC\)于\(D\)，则\(\angle ADB=30^\circ\)，\(\angle ADC=90^\circ\)。
  2. 由等腰三角形的性质，\(BD=DC=2\)。
  3. 在直角三角形\(ABD\)中，\(AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)。
  4. 在直角三角形\(ACD\)中，\(AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\)。
  5. 因此，\(AB+AC=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)。

答案：\(4\sqrt{2}\)。

三、解答题解析

题目一：函数问题

题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+1\)，求\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的最大值和最小值。

解析：

  1. 求导数：\(f'(x)=3x^2-6x+4\)。
  2. 令\(f'(x)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=\frac{2}{3}\)。
  3. 判断极值：当\(x<\frac{2}{3}\)时，\(f'(x)>0\)；当\(\frac{2}{3}<x<1\)时，\(f'(x)<0\)；当\(x>1\)时，\(f'(x)>0\)。因此，\(x=\frac{2}{3}\)为极大值点，\(x=1\)为极小值点。
  4. 计算极值：\(f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{31}{27}\)，\(f(1)=2\)。
  5. 判断端点值：\(f(0)=1\)，\(f(2)=3\)。
  6. 综合比较，\(f(x)\)在区间\([0,2]\)上的最大值为\(3\)，最小值为\(1\)。

答案：最大值为\(3\)，最小值为\(1\)。

题目二：数列问题

题目：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n^2-2a_n+1\)，求\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\)。

解析：

  1. 证明数列\(\{a_n\}\)单调递增：\(a_{n+1}-a_n=(a_n-1)^2\geq 0\)，因此数列\(\{a_n\}\)单调递增。
  2. 证明数列\(\{a_n\}\)有界：\(a_n\leq a_{n+1}\leq a_{n+2}\)，因此数列\(\{a_n\}\)有界。
  3. 由单调有界定理，\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\)存在，设\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a\)。
  4. 根据数列的递推关系，\(a=a^2-2a+1\)，解得\(a=1\)。

答案：\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=1\)。

总结

通过对2017年鼓楼二模数学试卷中难题的解析，我们了解到解题技巧的重要性。在备考过程中，我们要注重基础知识的学习，同时也要关注解题方法的积累。希望本文的解析能够帮助读者在数学学习中取得更好的成绩。