一、选择题部分
1. 选择题1解析
题目描述：在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，求公差\(d\)。
解答过程： 根据等差数列的定义，我们有： [ a_3 = a_1 + 2d ] 代入已知条件： [ 8 = 2 + 2d ] 解得： [ d = 3 ]
2. 选择题2解析
题目描述：已知函数\(f(x) = \ln x + \sqrt{x}\)，求\(f'(x)\)。
解答过程： 由对数函数和根式函数的导数公式，我们得到： [ f’(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) ] [ f’(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} ]
二、填空题部分
3. 填空题1解析
题目描述：设函数\(f(x) = x^3 - 3x\)，求\(f''(x)\)。
解答过程： 对函数\(f(x)\)求一阶导数，得到： [ f’(x) = 3x^2 - 3 ] 再对\(f'(x)\)求导，得到： [ f”(x) = 6x ]
4. 填空题2解析
题目描述：已知函数\(g(x) = e^x \sin x\)，求\(g'(x)\)。
解答过程： 由乘积法则，我们有： [ g’(x) = e^x \sin x + e^x \cos x ]
三、解答题部分
5. 解答题1解析
题目描述：设\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(a + b = 1\)，求\(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a}\)的最小值。
解答过程： 根据柯西不等式，我们有： [ (\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a})(b + a) \geq (a + b)^2 ] 代入条件\(a + b = 1\)，得到： [ (\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a}) \cdot 1 \geq 1 ] 即： [ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} \geq 1 ] 等号成立当且仅当\(a = b = \frac{1}{2}\)。
6. 解答题2解析
题目描述：设\(f(x) = \ln x + \frac{1}{x}\)，求\(f'(x)\)和\(f''(x)\)，并求\(f''(x)\)的零点。
解答过程： 由导数的定义，我们有： [ f’(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) + \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) ] [ f’(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} ] 对\(f'(x)\)求导，得到： [ f”(x) = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) + \frac{d}{dx}(-\frac{1}{x^2}) ] [ f”(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3} ] 令\(f''(x) = 0\)，解得\(x = 2\)。
以上是对2017年全国卷2数学题目的详细解答。希望这些解析能够帮助同学们更好地理解数学知识，提高解题能力。