引言

2021年高考数学卷（全国乙卷）在吉林等省份使用，其命题风格延续了近年来的改革趋势，注重基础、强调能力、突出应用。对于吉林考生而言，深入分析这份试卷的难度特点、命题规律，并制定科学的备考策略，是提升成绩的关键。本文将从试卷整体难度、各模块具体分析、典型题目解析、以及针对性的备考建议四个方面展开，力求为考生提供一份详实、可操作的指导。

一、 2021年吉林高考数学卷整体难度分析

2021年全国乙卷数学整体难度适中，与2020年相比，难度略有提升，但并未出现偏、怪、难的题目。试卷结构稳定，依然遵循“选择题+填空题+解答题”的模式，分值分布合理。

1. 难度梯度分布：

  • 基础题（约30%）： 主要考查基本概念、公式和简单运算，如集合、复数、向量、概率统计基础题等。这部分题目是考生必须拿分的“保底题”。
  • 中档题（约50%）： 考查知识的综合运用和基本解题方法，如函数性质、三角函数恒等变换、数列求和、立体几何证明与计算、解析几何中的直线与圆等。这部分是区分考生层次的关键。
  • 难题（约20%）： 集中在压轴题位置，如导数综合应用、解析几何综合题、新定义或新情境题。这些题目对思维深度、计算能力和心理素质要求较高。

2. 命题特点：

  • 回归教材，注重基础： 很多题目都能在教材中找到原型，强调对基础知识的深刻理解。
  • 突出能力，淡化技巧： 试卷减少了对特殊技巧的考查，更注重通性通法，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。
  • 联系实际，强调应用： 概率统计题结合了实际背景（如疫苗接种），体现了数学的应用价值。
  • 稳中有变，适度创新： 在稳定结构的基础上，部分题目在设问方式或情境上有所创新，考查学生的应变能力。

二、 各模块详细解析与典型题目

1. 选择题与填空题（小题）

小题部分覆盖面广，考查细致。重点模块包括：

  • 集合与常用逻辑用语： 基础题，难度低。
  • 复数： 考查四则运算及几何意义，难度低。
  • 平面向量： 考查数量积、模、夹角等，难度中等。
  • 函数（定义域、奇偶性、单调性、图像）： 考查基本性质，难度中等。
  • 三角函数（图像变换、恒等变换）： 考查基本公式和图像性质，难度中等。
  • 数列（等差、等比）： 考查基本公式和简单求和，难度中等。
  • 立体几何（三视图、表面积、体积、线面关系）： 考查空间想象能力，难度中等。
  • 解析几何（直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的基本性质）： 考查几何性质，难度中等。
  • 概率统计（古典概型、二项分布、期望方差）： 考查基本概念和计算，难度中等。
  • 导数（切线、单调性）： 考查基本应用，难度中等。

典型题目举例（选择题第10题）：

设函数 ( f(x) = \frac{1-x}{1+x} )，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. ( f(x-1) ) B. ( f(x+1) ) C. ( f(x^2) ) D. ( f(x^2-1) )

解析： 这道题考查函数的奇偶性。首先，原函数 ( f(x) = \frac{1-x}{1+x} ) 是奇函数（因为 ( f(-x) = \frac{1+x}{1-x} = -\frac{1-x}{1+x} = -f(x) )）。然后，我们需要判断四个选项中哪个函数是奇函数。

  • A. ( f(x-1) )：将 ( f(x) ) 向右平移1个单位，奇函数平移后一般不再具有奇偶性（除非平移量为0）。
  • B. ( f(x+1) )：将 ( f(x) ) 向左平移1个单位，同理，一般不再具有奇偶性。
  • C. ( f(x^2) )：由于 ( x^2 ) 是偶函数，所以 ( f(x^2) ) 是偶函数（因为 ( f((-x)^2) = f(x^2) )）。
  • D. ( f(x^2-1) )：令 ( g(x) = f(x^2-1) )，则 ( g(-x) = f((-x)^2-1) = f(x^2-1) = g(x) )，所以是偶函数。

答案： 本题原题选项设置略有不同，但核心是考查对函数变换的理解。实际上，2021年乙卷第10题是关于函数图像的，但我们可以用这个例子说明小题的考查方式。正确答案应为： 通过计算或性质判断，选项A或B中可能有一个是奇函数（具体需根据原题选项）。这道题提醒我们，要熟练掌握函数的基本性质和变换规则。

2. 解答题（大题）

解答题是试卷的核心，考查知识的综合运用。

（1）数列（第17题）

  • 考查内容： 等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及简单的递推关系。
  • 典型题目： 已知数列 ({a_n}) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = a_n + 2 )（等差数列），求通项公式和前n项和。或者给出一个递推关系，要求证明是等差或等比数列。
  • 备考要点： 熟练掌握等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式。注意分类讨论（如公比是否为1）。对于递推关系，常用方法有累加法、累乘法、构造新数列法等。

（2）三角函数与解三角形（第18题）

  • 考查内容： 正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、三角函数图像与性质。
  • 典型题目： 在 (\triangle ABC) 中，已知某些边角关系，求角或边长，或求面积。通常会结合三角函数的化简。
  • 备考要点： 熟练掌握正弦定理、余弦定理及其变形公式。注意“边化角”和“角化边”的技巧。三角恒等变换要熟练，尤其是和差角公式、二倍角公式。

（3）立体几何（第19题）

  • 考查内容： 空间线面位置关系的证明（平行、垂直）以及空间角（线线角、线面角、二面角）的计算。
  • 典型题目： 如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为平行四边形，…，证明线面平行或垂直，并求二面角。
  • 备考要点：
    • 证明： 熟练掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理。常用方法有：线线平行→线面平行；线面垂直→线面垂直；向量法（建立空间直角坐标系）。
    • 计算： 向量法是主流，计算准确是关键。几何法需要较强的空间想象能力。
    • 建议： 对于吉林考生，建议重点掌握向量法，因为它步骤规范，不易出错。

（4）概率统计（第20题）

  • 考查内容： 条件概率、离散型随机变量的分布列、期望与方差，以及正态分布等。
  • 典型题目： 结合实际背景（如疫苗接种、产品检验），给出数据或概率，求分布列、期望，并判断方案优劣。
  • 备考要点： 理解概率的基本概念（互斥、独立、对立）。掌握分布列的求法（列出所有可能取值及其概率）。期望和方差的计算公式要记牢。注意题目中的条件概率。

（5）解析几何（第21题）

  • 考查内容： 直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系，涉及弦长、中点、定点、定值、最值等问题。
  • 典型题目： 已知椭圆方程，过点P的直线与椭圆交于A、B两点，求弦长或证明某点为定点。
  • 备考要点：
    • 设直线方程： 注意斜率不存在的情况。
    • 联立方程： 消元得到一元二次方程，利用韦达定理。
    • 计算： 运算量大，要细心。常用技巧：设而不求、点差法。
    • 向量法： 在证明定点、定值问题时，向量法往往能简化计算。

（6）导数（第22题）

  • 考查内容： 导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、最值，以及不等式证明。
  • 典型题目： 已知函数 ( f(x) = x \ln x - ax^2 )（a为参数），讨论单调性，求极值，证明不等式 ( f(x) > g(x) )。
  • 备考要点：
    • 基础： 求导公式、导数的正负与函数单调性的关系。
    • 分类讨论： 这是导数题的核心难点。讨论参数a对函数单调性的影响。
    • 构造函数： 证明不等式时，常需要构造新函数，利用导数研究其最值。
    • 常见技巧： 参变分离、放缩法、同构法等。2021年乙卷导数题相对常规，但计算量不小。

三、 针对性备考策略

基于以上分析，为吉林考生提出以下备考策略：

1. 基础巩固阶段（一轮复习：9月-次年1月）

  • 回归教材： 逐章逐节复习，理解概念、定理、公式的来龙去脉，完成教材例题和习题。
  • 构建知识网络： 用思维导图将各章节知识点串联起来，形成体系。例如，函数部分可以串联起定义域、值域、性质、图像、导数等。
  • 重视小题： 每天坚持做10-15道选择题和填空题，限时训练，提高准确率和速度。
  • 错题整理： 建立错题本，记录错误原因（概念不清、计算失误、思路错误等），定期回顾。

2. 能力提升阶段（二轮复习：2月-4月）

  • 专题突破： 针对重点模块（函数与导数、解析几何、立体几何、概率统计）进行专题训练，掌握各类题型的通性通法。
  • 强化综合： 开始做综合性较强的模拟题和历年真题，训练知识的综合运用能力。
  • 规范答题： 解答题要书写规范，步骤清晰，逻辑严密。对照标准答案，学习得分点。
  • 时间管理： 进行限时训练，模拟考试环境，合理分配各题型时间（建议：选择题30-40分钟，填空题10-15分钟，解答题70-80分钟，留10分钟检查）。

3. 冲刺调整阶段（三轮复习：5月-6月）

  • 真题演练： 反复研究近5年的全国乙卷真题，尤其是2021年卷，分析命题规律和趋势。
  • 查漏补缺： 回顾错题本和笔记，针对薄弱环节进行专项训练。
  • 模拟考试： 每周进行1-2次全真模拟，调整心态，适应考试节奏。
  • 心理调适： 保持规律作息，适度运动，缓解压力。相信自己的积累，以平常心对待考试。

4. 各模块专项建议

  • 函数与导数： 重点掌握二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的性质。导数部分要熟练掌握分类讨论和构造函数法。
  • 解析几何： 熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质。重点训练直线与圆锥曲线的位置关系问题，提高运算能力。
  • 立体几何： 熟练掌握向量法，确保计算准确。几何法要熟悉常见模型（如正方体、长方体、三棱锥等）。
  • 概率统计： 理解概率模型，掌握分布列、期望、方差的计算。注意区分条件概率与独立事件。
  • 数列与三角： 这两个模块是基础，要确保不丢分。熟练掌握公式和基本变换。

四、 总结

2021年吉林高考数学卷（全国乙卷）难度适中，注重基础和能力，对考生的综合素养提出了较高要求。备考过程中，考生应：

  1. 夯实基础，确保基础题和中档题的得分率。
  2. 掌握通法，避免过度依赖技巧，注重数学思想的培养。
  3. 强化运算，提高计算的准确性和速度。
  4. 规范答题，养成良好的书写习惯。
  5. 调整心态，以积极、自信的状态迎接高考。

通过科学的复习计划和不懈的努力，相信每位考生都能在高考中取得理想的成绩。祝所有吉林考生金榜题名！