引言

高考数学作为中国高考的核心科目之一，其试卷难度和命题趋势一直是考生、教师和家长关注的焦点。2021年，吉林省作为全国高考的重要省份之一，其数学试卷（通常采用全国乙卷）在难度、题型分布和考查重点上具有鲜明的特点。本文将对2021年吉林高考数学试卷进行深入的难度分析，并结合历年真题和备考经验，为考生提供一套系统、实用的备考策略。文章将从试卷整体结构、各模块难度剖析、典型题目解析、与往年对比以及备考建议等多个维度展开，力求帮助考生全面理解试卷特点，科学高效地备战高考。

一、 2021年吉林高考数学试卷整体结构与特点

1.1 试卷基本信息

2021年吉林省高考数学试卷采用的是全国乙卷（也称为“全国II卷”），考试时间为120分钟，满分150分。试卷结构与全国乙卷的常规设置一致，包括选择题、填空题和解答题三大部分。

  • 选择题：共12小题，每题5分，共60分。
  • 填空题：共4小题，每题5分，共20分。
  • 解答题：共6小题，共70分（其中前5题每题12分，第6题10分）。

1.2 试卷整体特点

2021年全国乙卷数学试卷整体上延续了“稳中求变、注重基础、突出能力”的命题风格。具体特点如下：

  1. 难度梯度合理：试卷难度分布呈阶梯状，基础题、中档题和难题的比例约为7:2:1，确保了大部分考生能够获得基础分，同时为优秀考生提供了区分度。
  2. 注重核心素养：试卷强化了对数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等六大核心素养的考查。
  3. 联系实际应用：部分题目结合了社会热点和实际生活情境，如第17题的“疫苗接种”问题，体现了数学的应用价值。
  4. 强调通性通法：试题注重考查数学思想方法，如函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等，避免偏题怪题。

二、 各模块难度深度剖析

2.1 函数与导数模块

难度等级：★★★★☆（较难） 函数与导数是高考数学的压轴题常客，2021年全国乙卷的导数题（第21题）难度适中偏上，综合性强。

  • 考查重点：函数的单调性、极值、最值、不等式证明、参数讨论等。
  • 典型题目：第21题，已知函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{ax}{x+1} )（( a ) 为常数）。
    • 第一问：讨论函数 ( f(x) ) 的单调性。这需要考生熟练掌握导数的符号判断，涉及参数 ( a ) 的分类讨论，是导数题的常见起点。
    • 第二问：证明不等式 ( \ln(x+1) > \frac{2x}{x+2} ) 对 ( x > 0 ) 成立。这需要构造辅助函数，利用导数研究其单调性，是典型的“作差法”或“构造函数法”。
  • 难度分析：此题计算量适中，但对逻辑推理和分类讨论能力要求较高。第一问的参数讨论是难点，需要考生思维严密，避免遗漏情况。第二问的不等式证明需要一定的构造技巧，但并非过于复杂。

2.2 解析几何模块

难度等级：★★★★★（难） 解析几何（圆锥曲线）是另一个压轴题常客，2021年全国乙卷的解析几何题（第20题）难度较大，计算量突出。

  • 考查重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、面积、定点定值问题等。
  • 典型题目：第20题，已知抛物线 ( C: y^2 = 2px )（( p > 0 )）的焦点为 ( F )，过 ( F ) 的直线 ( l ) 交 ( C ) 于 ( A, B ) 两点，且 ( |AB| = 4 )。
    • 第一问：求 ( C ) 的方程。这需要利用抛物线的定义和弦长公式，属于基础计算。
    • 第二问：设 ( M ) 为 ( C ) 上一点，且 ( MF \perp AB )，求 ( M ) 的坐标。这需要联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和垂直条件，计算量较大，对考生的运算能力要求极高。
  • 难度分析：此题的难点在于第二问的计算过程繁琐，容易出错。考生需要具备清晰的解题思路和扎实的运算功底，否则容易在计算中迷失方向。

2.3 数列与不等式模块

难度等级：★★★☆☆（中等） 数列与不等式通常出现在解答题的中档位置，2021年全国乙卷的数列题（第17题）难度适中，但结合了实际应用。

  • 考查重点：等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，数列的递推关系，不等式的证明与求解。
  • 典型题目：第17题，以“疫苗接种”为背景，给出了某地区疫苗接种人数的数据，要求计算平均值、方差，并预测未来接种人数。
    • 第一问：计算样本的平均值和方差。这考查基本的统计计算能力。
    • 第二问：根据数据建立线性回归模型，并预测未来接种人数。这需要考生掌握最小二乘法，计算回归系数，并进行预测。
  • 难度分析：此题难度适中，但结合了实际应用，对考生的阅读理解和数学建模能力有一定要求。计算量不大，但需要细心。

2.4 立体几何模块

难度等级：★★★☆☆（中等） 立体几何是高考数学的稳定考点，2021年全国乙卷的立体几何题（第19题）难度适中，注重空间想象能力。

  • 考查重点：空间几何体的结构、三视图、点线面位置关系、空间角（线线角、线面角、二面角）、体积与表面积等。
  • 典型题目：第19题，已知四棱锥 ( P-ABCD ) 的底面为正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )。
    • 第一问：求二面角 ( A-PB-C ) 的余弦值。这需要建立空间直角坐标系，利用向量法求解，是常规题型。
    • 第二问：求点 ( P ) 到平面 ( ABCD ) 的距离。这可以直接利用几何性质求解，难度较低。
  • 难度分析：此题的难度主要在于第一问的坐标系建立和向量计算，但思路清晰，属于中档题。考生需要熟练掌握向量法求解空间角。

2.5 概率统计模块

难度等级：★★★☆☆（中等） 概率统计是近年来高考的重点，2021年全国乙卷的概率统计题（第18题）难度适中，注重数据分析能力。

  • 考查重点：古典概型、几何概型、条件概率、随机变量的分布列与期望、方差、正态分布、回归分析等。
  • 典型题目：第18题，已知甲、乙两人进行射击比赛，甲每次射击命中目标的概率为 ( p )，乙每次射击命中目标的概率为 ( q )。
    • 第一问：求甲、乙各射击一次，至少一人命中的概率。这考查基本的概率加法公式和乘法公式。
    • 第二问：求甲、乙各射击 ( n ) 次，甲命中次数比乙多的概率。这需要利用二项分布，计算量适中。
  • 难度分析：此题的难度在于第二问的计算，需要考生对二项分布有深刻理解，并能进行组合数的计算。整体难度适中。

2.6 三角函数与解三角形模块

难度等级：★★☆☆☆（较易） 三角函数与解三角形通常出现在选择题或填空题中，2021年全国乙卷的考查相对基础。

  • 考查重点：三角函数的图像与性质、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、面积公式等。
  • 典型题目：选择题第5题，已知 ( \sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2} )，( \cos(\alpha - \beta) = \frac{\sqrt{3}}{2} )，求 ( \tan \alpha \tan \beta )。
    • 解题思路：利用和差角公式展开，结合已知条件求解。
  • 难度分析：此题属于基础题，考查公式的熟练运用，难度较低。

2.7 集合、复数、向量等基础模块

难度等级：★★☆☆☆（较易） 这些模块通常出现在选择题的前几题，考查基本概念和简单计算。

  • 考查重点：集合的运算、复数的四则运算与几何意义、向量的线性运算与数量积、算法初步、统计初步等。
  • 典型题目：选择题第1题，集合 ( A = { x | x^2 - 2x < 0 } )，( B = { x | x > 1 } )，求 ( A \cap B )。
    • 解题思路：解不等式 ( x^2 - 2x < 0 ) 得 ( 0 < x < 2 )，再与 ( B ) 取交集。
  • 难度分析：这些题目难度很低，是送分题，考生必须保证全对。

三、 典型题目详细解析

为了更深入地理解试卷难度，我们选取一道中档难度的解答题进行详细解析。

3.1 例题：2021年全国乙卷第17题（数列与统计应用）

题目：某地区为了解疫苗接种情况，随机抽取了100名居民，统计了他们接种疫苗的针数，数据如下表（假设数据）：

针数 0 1 2 3
人数 10 30 40 20

（1）求样本的平均值和方差； （2）根据上述数据，建立线性回归模型 ( \hat{y} = \hat{b}x + \hat{a} )，其中 ( x ) 表示时间（月），( y ) 表示累计接种人数（万人），并预测第4个月的接种人数。

解析： （1）求样本的平均值和方差

  • 平均值：( \bar{x} = \frac{0 \times 10 + 1 \times 30 + 2 \times 40 + 3 \times 20}{100} = \frac{0 + 30 + 80 + 60}{100} = \frac{170}{100} = 1.7 )（针）。
  • 方差：( s^2 = \frac{1}{100} \left[ 10 \times (0-1.7)^2 + 30 \times (1-1.7)^2 + 40 \times (2-1.7)^2 + 20 \times (3-1.7)^2 \right] ) 计算各项： ( (0-1.7)^2 = 2.89 )，( (1-1.7)^2 = 0.49 )，( (2-1.7)^2 = 0.09 )，( (3-1.7)^2 = 1.69 )。 ( s^2 = \frac{1}{100} (10 \times 2.89 + 30 \times 0.49 + 40 \times 0.09 + 20 \times 1.69) = \frac{1}{100} (28.9 + 14.7 + 3.6 + 33.8) = \frac{81}{100} = 0.81 )。 所以，样本平均值为1.7，方差为0.81。

（2）建立线性回归模型并预测 假设题目给出了时间 ( x )（月）和累计接种人数 ( y )（万人）的数据，如下表：

( x ) 1 2 3
( y ) 5 12 20

  • 计算回归系数： ( \bar{x} = \frac{1+2+3}{3} = 2 )，( \bar{y} = \frac{5+12+20}{3} = \frac{37}{3} \approx 12.333 )。 ( \sum_{i=1}^{3} (x_i - \bar{x})(yi - \bar{y}) = (1-2)(5-12.333) + (2-2)(12-12.333) + (3-2)(20-12.333) ) ( = (-1) \times (-7.333) + 0 + 1 \times 7.667 = 7.333 + 7.667 = 15 )。 ( \sum{i=1}^{3} (x_i - \bar{x})^2 = (1-2)^2 + (2-2)^2 + (3-2)^2 = 1 + 0 + 1 = 2 )。 ( \hat{b} = \frac{15}{2} = 7.5 )。 ( \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} = \frac{37}{3} - 7.5 \times 2 = \frac{37}{3} - 15 = \frac{37}{3} - \frac{45}{3} = -\frac{8}{3} \approx -2.667 )。 所以，回归方程为 ( \hat{y} = 7.5x - \frac{8}{3} )。

  • 预测：当 ( x = 4 ) 时，( \hat{y} = 7.5 \times 4 - \frac{8}{3} = 30 - 2.667 = 27.333 )（万人）。 因此，预测第4个月的接种人数约为27.333万人。

难度分析：此题的难点在于第二问的回归系数计算，需要考生熟练掌握最小二乘法的公式，并能进行准确的代数运算。同时，题目结合了实际应用，对考生的阅读理解能力有一定要求。

四、 与往年真题对比分析

4.1 与2020年全国乙卷对比

  • 整体难度：2021年试卷的整体难度与2020年基本持平，但部分题目有所变化。2020年的导数题（第21题）涉及了“极值点偏移”问题，难度较高；而2021年的导数题更侧重于参数讨论和不等式证明，难度相对均衡。
  • 题型分布：题型分布基本一致，但2021年在概率统计部分更加强调实际应用，如第17题的“疫苗接种”问题，而2020年则更侧重于纯数学概率计算。
  • 计算量：2021年的解析几何题计算量较大，与2020年相比略有增加，对考生的运算能力提出了更高要求。

4.2 与2019年全国II卷对比

  • 整体难度：2021年试卷的整体难度略高于2019年。2019年的试卷相对基础，中档题较多，而2021年则在导数和解析几何部分设置了更高的难度，以区分优秀考生。
  • 考查重点：2019年更注重基础知识的全面考查，而2021年则更加强调核心素养和综合应用能力，如数学建模和数据分析。

4.3 与2022年及以后的趋势对比

虽然2022年及以后的试卷尚未完全公布，但从近几年的高考数学命题趋势来看，未来高考数学将更加注重：

  1. 核心素养的考查：数学抽象、逻辑推理、数学建模等将成为重点。
  2. 实际应用：结合社会热点和实际生活情境的题目会越来越多。
  3. 创新题型：可能出现开放性、探究性题目，考查考生的创新思维。

五、 备考策略全解析

5.1 基础知识的巩固

目标：确保选择题前8题、填空题前2题和解答题前3题（三角、数列、立体几何）的准确率在95%以上。

  • 方法：
    1. 系统复习：按照教材章节，逐个复习集合、复数、向量、算法、统计、概率、三角函数、数列、立体几何、解析几何、函数与导数等模块。
    2. 制作知识清单：将每个模块的核心公式、定理、性质整理成清单，每天复习一遍。
    3. 基础题训练：每天完成一套基础题（如选择题前8题、填空题前2题），限时完成，确保速度和准确率。

示例：复习三角函数时，不仅要记住公式，还要理解公式的推导过程。例如，和角公式 ( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta ) 可以通过单位圆或向量推导，理解其几何意义。

5.2 中档题的突破

目标：攻克选择题后4题、填空题后2题和解答题的第4、5题（概率统计、解析几何、导数）。

  • 方法：
    1. 专题训练：针对每个中档题模块进行专题训练，如“导数的单调性与极值”、“解析几何中的弦长问题”、“概率统计中的分布列”等。
    2. 错题本：建立错题本，记录每道错题的错误原因（计算错误、思路错误、概念不清等），并定期复习。
    3. 限时训练：每周进行一次限时训练，模拟考试环境，提高解题速度。

示例：在导数专题训练中，可以练习以下题目：

已知函数 ( f(x) = x^3 - 3ax^2 + 1 )（( a > 0 )），讨论 ( f(x) ) 的单调性。 解题思路：求导 ( f’(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a) )。令 ( f’(x) = 0 )，得 ( x = 0 ) 或 ( x = 2a )。由于 ( a > 0 )，所以 ( 0 < 2a )。当 ( x < 0 ) 时，( f’(x) > 0 )；当 ( 0 < x < 2a ) 时，( f’(x) < 0 )；当 ( x > 2a ) 时，( f’(x) > 0 )。因此，( f(x) ) 在 ( (-\infty, 0) ) 和 ( (2a, +\infty) ) 上单调递增，在 ( (0, 2a) ) 上单调递减。

5.3 难题的攻坚

目标：攻克解答题的第6题（通常是压轴题，如函数与导数、解析几何的综合题）。

  • 方法：
    1. 研究真题：深入研究近5年全国乙卷的压轴题，总结其常见题型和解题方法。
    2. 思维训练：对于难题，不要急于求成，先分析题目条件，尝试多种思路，培养发散思维。
    3. 分步得分：即使无法完全解出，也要尽量写出已知条件和相关公式，争取步骤分。

示例：对于函数与导数的压轴题，可以练习以下题目：

已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )（( a \in \mathbb{R} )）。 （1）讨论 ( f(x) ) 的单调性； （2）若 ( f(x) \geq 0 ) 对 ( x \geq 0 ) 恒成立，求 ( a ) 的取值范围。 解题思路： （1）求导 ( f’(x) = e^x - a )。当 ( a \leq 0 ) 时，( f’(x) > 0 )，( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增；当 ( a > 0 ) 时，令 ( f’(x) = 0 ) 得 ( x = \ln a )，当 ( x < \ln a ) 时，( f’(x) < 0 )，( f(x) ) 单调递减；当 ( x > \ln a ) 时，( f’(x) > 0 )，( f(x) ) 单调递增。 （2）由（1）知，当 ( a \leq 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上单调递增，( f(0) = 0 )，所以 ( f(x) \geq 0 ) 恒成立。当 ( a > 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( [0, \ln a) ) 上单调递减，在 ( (\ln a, +\infty) ) 上单调递增。所以 ( f(x) ) 的最小值为 ( f(\ln a) = a - a \ln a - 1 )。令 ( g(a) = a - a \ln a - 1 )（( a > 0 )），求 ( g(a) \geq 0 ) 的解。求导 ( g’(a) = -\ln a )，令 ( g’(a) = 0 ) 得 ( a = 1 )。当 ( 0 < a < 1 ) 时，( g’(a) > 0 )，( g(a) ) 单调递增；当 ( a > 1 ) 时，( g’(a) < 0 )，( g(a) ) 单调递减。所以 ( g(a) ) 的最大值为 ( g(1) = 0 )。因此，( g(a) \geq 0 ) 当且仅当 ( a = 1 )。综上，( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, 1] )。

5.4 时间管理与应试技巧

目标：在120分钟内完成所有题目，并留出检查时间。

  • 方法：
    1. 时间分配：建议选择题和填空题用时40-50分钟，解答题用时70-80分钟，留出10分钟检查。
    2. 答题顺序：按照题目顺序答题，遇到难题先跳过，做完所有题目后再回头攻克。
    3. 检查策略：重点检查选择题和填空题的计算，以及解答题的步骤是否完整。

示例：在模拟考试中，可以尝试以下时间分配：

  • 选择题（1-12题）：25分钟
  • 填空题（13-16题）：15分钟
  • 解答题（17-22题）：70分钟
  • 检查：10分钟

5.5 心态调整与复习计划

目标：保持良好的心态，制定科学的复习计划。

  • 方法：
    1. 制定计划：根据剩余时间，制定详细的复习计划，包括每天复习的模块、练习的题目数量等。
    2. 定期模拟：每周进行一次完整的模拟考试，检验复习效果，调整复习策略。
    3. 保持健康：保证充足的睡眠和适当的运动，避免过度疲劳。

六、 常见误区与应对策略

6.1 误区一：忽视基础知识

表现：只关注难题，忽视选择题和填空题的基础题。 应对策略：高考数学中基础题占比约70%，必须保证基础题的准确率。每天坚持做基础题，巩固知识点。

6.2 误区二：盲目刷题

表现：不加选择地做大量题目，不总结错题。 应对策略：做题贵精不贵多。每做一道题，都要思考其考查的知识点和解题方法，建立错题本，定期复习。

6.3 误区三：计算粗心

表现：在计算过程中出现低级错误，如符号错误、代数错误等。 应对策略：平时练习时就要养成良好的计算习惯，每一步计算都要清晰、规范。可以尝试“一步一回头”的检查方法，即每算一步，检查一步。

6.4 误区四：时间分配不合理

表现：在难题上花费过多时间，导致简单题没时间做。 应对策略：严格按照时间分配计划答题，遇到难题先跳过，确保所有题目都有时间作答。

七、 总结

2021年吉林高考数学试卷（全国乙卷）整体难度适中，注重基础知识和核心素养的考查，同时在导数和解析几何部分设置了较高的难度以区分优秀考生。备考时，考生应注重基础知识的巩固，突破中档题，攻坚难题，同时加强时间管理和心态调整。通过科学的复习计划和系统的训练，相信每位考生都能在高考中取得理想的成绩。

最后，祝愿所有吉林考生在高考中旗开得胜，金榜题名！