引言
高等数学是大学数学教育的重要组成部分，对于理工科学生来说尤为重要。东北大学版的高等数学教材以其严谨的体系、丰富的例题和深入浅出的讲解而受到广泛好评。本文将带领读者揭秘东北大学版高等数学中的核心概念，帮助读者轻松掌握数学奥秘。
一、极限与连续
1.1 极限
定义：当自变量x趋近于某一点a时，函数f(x)的值如果趋近于某一点L，则称L为函数f(x)当x趋近于a时的极限。
性质：
- 存在性：如果存在极限，则该极限是唯一的。
- 保号性：如果f(x)在a点附近恒大于0（或小于0），则极限L也大于0（或小于0）。
- 保序性：如果对于任意的x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则极限L也大于f(a)。
例题：
# 计算函数f(x) = x^2在x=0时的极限
def limit_f(x):
return x**2
# 计算极限
limit_value = limit_f(0)
print("极限值为:", limit_value)
1.2 连续
定义：如果函数f(x)在点x=a处极限存在，且该极限等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在点x=a处连续。
性质：
- 如果函数在某区间内每一点都连续，则该函数在该区间内连续。
- 常用函数的连续性。
例题：
# 判断函数f(x) = x^2在x=0处是否连续
def f(x):
return x**2
# 判断连续性
limit_value = f(0)
print("函数在x=0处的极限值为:", limit_value)
print("函数在x=0处的值为:", f(0))
print("因此，函数在x=0处连续。")
二、导数与微分
2.1 导数
定义：函数在某一点的导数是该点切线斜率的极限。
性质：
- 可导性：如果一个函数在某一点可导，则该函数在该点连续。
- 求导法则：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本求导法则。
例题：
import math
# 计算函数f(x) = x^2的导数
def derivative_f(x):
return 2*x
# 计算导数
derivative_value = derivative_f(2)
print("函数在x=2处的导数为:", derivative_value)
2.2 微分
定义：函数在某一点的微分是该点切线上的微小线段。
性质：
- 微分与导数的关系：函数的微分等于导数乘以自变量的微分。
- 微分在近似计算中的应用。
例题：
# 使用微分近似计算函数f(x) = x^2在x=2附近的值
def f(x):
return x**2
# 计算微分
dx = 0.01
dy = derivative_f(2) * dx
approx_value = f(2) + dy
print("函数在x=2附近的近似值为:", approx_value)
三、积分
3.1 原函数与不定积分
定义：如果一个函数的导数等于另一个函数，则称后者为前者的原函数，原函数的集合称为不定积分。
性质：
- 基本积分公式。
- 积分法则：换元积分、分部积分等。
例题：
# 计算函数f(x) = x^2的不定积分
import sympy as sp
x = sp.symbols('x')
f = x**2
integral_f = sp.integrate(f, x)
print("函数的不定积分为:", integral_f)
3.2 定积分
定义：将一个函数在某一区间上的定积分定义为该区间内所有小区间上函数值的积分和的极限。
性质：
- 牛顿-莱布尼茨公式。
- 定积分的应用：计算面积、体积、质心等。
例题：
# 计算函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分
integral_value = sp.integrate(f, (x, 0, 1))
print("函数在区间[0,1]上的定积分为:", integral_value)
总结
通过对东北大学版高等数学核心概念的揭秘，读者可以更深入地理解数学的奥秘。在学习和应用这些概念时，注重基本概念的理解和基本技能的培养，才能在数学的道路上越走越远。