高考2017文科数学真题答案及解析详解

一、选择题部分

1. 题目及答案

（以下为模拟题目，实际题目请以当年真题为准）

题目：函数 \(f(x) = \sin(x) + 2\cos(x)\) 的最大值是多少？

答案：3

解析

首先，我们需要将函数 \(f(x) = \sin(x) + 2\cos(x)\) 转化为标准形式。利用三角恒等变换，我们有：

\[ f(x) = \sqrt{1^2 + 2^2}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\sin(x) + \frac{2}{\sqrt{5}}\cos(x)\right) = \sqrt{5}\sin(x + \alpha) \]

其中，\(\tan(\alpha) = 2\)，因此 \(\alpha\) 的值可以通过反正切函数求得。由于 \(\sin(x + \alpha)\) 的取值范围为 \([-1, 1]\)，所以 \(f(x)\) 的最大值为 \(\sqrt{5}\)。

二、填空题部分

1. 题目及答案

题目：已知数列 \(\{a_n\}\) 是等差数列，若 \(a_1 = 3\)，\(a_5 = 13\)，则 \(a_9\) 的值为多少？

答案：25

解析

由于 \(\{a_n\}\) 是等差数列，根据等差数列的通项公式 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)，其中 \(d\) 为公差。由 \(a_1 = 3\) 和 \(a_5 = 13\)，我们可以求出公差 \(d\)：

\[ a_5 = a_1 + 4d \Rightarrow 13 = 3 + 4d \Rightarrow d = 2 \]

因此，\(a_9 = a_1 + 8d = 3 + 8 \times 2 = 19\)。

三、解答题部分

1. 题目及答案

题目：已知函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x\)，求函数的极值。

答案

首先，我们求函数的导数：

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 4 \]

令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = 1\) 或 \(x = \frac{2}{3}\)。

接下来，我们通过二次导数法或者导数的符号变化来判断这两个点的极值性质。计算 \(f''(x)\)：

\[ f''(x) = 6x - 6 \]

当 \(x = 1\) 时，\(f''(1) = 0\)，无法确定极值性质，需要进一步判断；当 \(x = \frac{2}{3}\) 时，\(f''\left(\frac{2}{3}\right) = 0\)，也无法确定极值性质。

因此，我们需要通过 \(f'(x)\) 的符号变化来确定。我们可以列出以下表格：

\(x\)	\((-\infty, \frac{2}{3})\)	\(\frac{2}{3}\)	\((\frac{2}{3}, 1)\)	\(1\)	\((1, +\infty)\)
\(f'(x)\)	-	0	+	0	+
\(f(x)\)	递减	极小值	递增	极大值	递增

由此可见，当 \(x = \frac{2}{3}\) 时，\(f(x)\) 取得极小值；当 \(x = 1\) 时，\(f(x)\) 取得极大值。具体计算极值如下：

\[ f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{8}{27} - \frac{12}{9} + \frac{8}{3} = \frac{8}{27} - \frac{36}{27} + \frac{72}{27} = \frac{44}{27} \]

\[ f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 = 1 - 3 + 4 = 2 \]

所以，\(f(x)\) 的极小值为 \(\frac{44}{27}\)，极大值为 \(2\)。