引言

2015年吉林省高考数学试卷（全国卷II）是高考改革历程中的重要一份试卷。它既延续了全国卷一贯的严谨风格，又在难度设置、题型分布和考查重点上体现了当年的命题趋势。对于当时的考生和现在的备考者而言，深入分析这份试卷的难度特点、命题规律，并制定科学的备考策略，具有重要的参考价值。本文将从试卷整体难度、各模块具体分析、典型题目解析以及备考策略四个方面，为您提供一份详尽的指导。

一、 试卷整体难度分析

2015年吉林高考数学卷（全国卷II）整体难度适中偏上，与往年相比，难度略有提升，主要体现在以下几个方面：

  1. 计算量增大：试卷中多道题目涉及复杂的代数运算和几何计算，对考生的计算能力和耐心提出了更高要求。例如，选择题第12题、填空题第16题以及解答题中的立体几何和解析几何部分，都需要进行多步骤的计算。
  2. 综合性增强：题目不再是单一知识点的简单考查，而是将多个知识点融合在一起。例如，将函数、导数与不等式结合，或将数列、不等式与函数结合，要求考生具备更强的知识迁移和综合运用能力。
  3. 思维要求提高：部分题目（如选择题第10题、解答题第21题）需要考生具备较强的逻辑推理、抽象概括和空间想象能力，对数学思维的深度和灵活性要求较高。
  4. 区分度明显：试卷在基础题、中档题和难题的分布上较为合理，既保证了大部分考生能够拿到基础分，又通过压轴题有效地区分了高水平考生，体现了高考的选拔功能。

总体而言，这份试卷对考生的“双基”（基础知识和基本技能）要求扎实，同时强调数学思想方法的灵活运用，是一份能够有效检验考生数学素养的试卷。

二、 各模块难度与命题特点解析

1. 选择题部分（共12题，每题5分）

选择题部分整体难度适中，但个别题目具有较高的区分度。

  • 第1-6题：属于基础题，主要考查集合、复数、向量、函数性质、三角函数等基础知识，计算简单，概念清晰即可得分。
  • 第7-9题：难度略有提升，涉及线性规划、程序框图、三视图等，需要一定的空间想象和逻辑推理能力。
  • 第10题：难度较大。题目考查函数与导数的综合应用，涉及函数的单调性、极值以及不等式的证明。需要考生熟练掌握导数工具，并能进行严谨的逻辑推理。
    • 例题解析：设函数 ( f(x) = \ln x - ax^2 + bx )，讨论 ( f(x) ) 的单调性。
      • 思路：首先求导 ( f’(x) = \frac{1}{x} - 2ax + b )。然后对参数 ( a, b ) 进行分类讨论，分析 ( f’(x) ) 的符号变化，从而确定 ( f(x) ) 的单调区间。这要求考生对含参函数的导数讨论有清晰的思路。
  • 第11题：考查抛物线与直线的位置关系，涉及弦长公式和最值问题，计算量中等，但需要细心。
  • 第12题：压轴题。考查数列与不等式的综合，涉及数列的递推关系和放缩法。需要考生有较强的观察力和变形技巧。
    • 思路：通常需要先通过递推式求出通项或前n项和，然后利用不等式放缩（如 ( \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} )）来证明结论。

2. 填空题部分（共4题，每题5分）

填空题部分难度梯度明显，第13、14题为基础题，第15、16题难度较大。

  • 第13题：考查二项式定理，直接套用公式即可。
  • 第14题：考查线性回归方程，属于统计部分的基础应用。
  • 第15题：难度中等。考查三角函数的图像和性质，涉及辅助角公式和周期性，需要一定的计算。
  • 第16题：难度较大。考查立体几何中的最值问题，通常需要建立空间直角坐标系，利用空间向量求解距离的最值。计算过程复杂，对空间想象和计算能力要求高。

3. 解答题部分（共6题，共70分）

解答题是试卷的核心，各题难度分布合理，重点突出。

  • 第17题（数列）：难度适中。通常考查等差数列和等比数列的基本性质，以及数列求和（如错位相减法）。2015年考查了等差数列的通项公式和求和，属于常规题型。
  • 第18题（统计与概率）：难度适中。考查古典概型、条件概率或分布列与期望。2015年考查了频率分布直方图和期望，计算量适中，但需要仔细阅读题目，理解题意。
  • 第19题（立体几何）：难度中等偏上。考查线面垂直的证明和空间角的计算。2015年考查了线面垂直的证明和二面角的计算。通常需要建立空间直角坐标系，利用向量法求解，计算量较大。
    • 备考建议：熟练掌握几何法和向量法两种方法，根据题目条件灵活选择。向量法虽然计算量大，但思路清晰，不易出错。
  • 第20题（解析几何）：难度较大。考查直线与圆锥曲线（通常是椭圆或抛物线）的位置关系，涉及弦长、面积、定点定值等问题。2015年考查了椭圆与直线的位置关系，需要联立方程，利用韦达定理进行计算。
    • 例题思路：设直线方程为 ( y = kx + m )，与椭圆方程联立，得到关于 ( x ) 的一元二次方程。利用判别式 ( \Delta > 0 ) 确定参数范围，利用韦达定理表示弦长、面积等，再根据题目条件求解参数。
  • 第21题（函数与导数）：压轴题，难度最大。考查函数、导数、不等式的综合应用。2015年考查了函数的单调性、极值以及不等式的证明，对考生的逻辑思维和计算能力要求极高。
    • 备考建议：这是区分高分考生的关键题。需要系统掌握导数的几何意义、单调性、极值、最值等核心知识，并熟练运用分类讨论、数形结合、构造函数等数学思想。
  • 第22题（选考题：坐标系与参数方程）：难度适中。考查参数方程与普通方程的互化，以及利用参数方程求最值。2015年考查了直线的参数方程和圆的极坐标方程，属于常规题型。
  • 第23题（选考题：不等式选讲）：难度适中。考查绝对值不等式的解法和证明。2015年考查了 ( |x-1| + |x-2| ) 的最小值问题，需要分类讨论或利用几何意义求解。

三、 典型题目详细解析

为了更直观地理解试卷的难度和解题思路，我们选取一道典型的解答题进行详细解析。

题目（2015年全国卷II，第20题）：已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 ) (( a > b > 0 )) 的离心率为 ( \frac{\sqrt{2}}{2} )，点 ( (2, \sqrt{3}) ) 在 ( C ) 上。 (1) 求 ( C ) 的方程； (2) 设直线 ( l ) 与 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，且 ( |AB| = \frac{4\sqrt{2}}{3} )，求 ( l ) 的方程。

解析：

(1) 求椭圆方程

由离心率 ( e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} )，得 ( c^2 = \frac{1}{2}a^2 )。 又 ( b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2}a^2 )。 所以椭圆方程可设为 ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{\frac{1}{2}a^2} = 1 )，即 ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{2y^2}{a^2} = 1 )。 将点 ( (2, \sqrt{3}) ) 代入，得 ( \frac{4}{a^2} + \frac{2 \times 3}{a^2} = 1 )，即 ( \frac{10}{a^2} = 1 )，所以 ( a^2 = 10 )。 因此 ( b^2 = 5 )。 椭圆 ( C ) 的方程为 ( \frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{5} = 1 )。

(2) 求直线 ( l ) 的方程

设直线 ( l ) 的方程为 ( y = kx + m )（当斜率不存在时，单独讨论）。 联立方程组： [ \begin{cases} y = kx + m \ \frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{5} = 1 \end{cases} ] 消去 ( y )，整理得： [ (1 + 2k^2)x^2 + 4kmx + 2m^2 - 10 = 0 ] 设 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) )，则 ( x_1, x_2 ) 是上述方程的两根。 由韦达定理： [ x_1 + x_2 = -\frac{4km}{1 + 2k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{2m^2 - 10}{1 + 2k^2} ] 弦长公式： [ |AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} ] 代入韦达定理的结果： [ |AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{\left( -\frac{4km}{1 + 2k^2} \right)^2 - 4 \cdot \frac{2m^2 - 10}{1 + 2k^2}} ] 化简根号内的表达式： [ \begin{aligned} & \frac{16k^2m^2}{(1 + 2k^2)^2} - \frac{4(2m^2 - 10)}{1 + 2k^2} \ = & \frac{16k^2m^2 - 4(2m^2 - 10)(1 + 2k^2)}{(1 + 2k^2)^2} \ = & \frac{16k^2m^2 - 4(2m^2 + 4k^2m^2 - 10 - 20k^2)}{(1 + 2k^2)^2} \ = & \frac{16k^2m^2 - 8m^2 - 16k^2m^2 + 40 + 80k^2}{(1 + 2k^2)^2} \ = & \frac{40 + 80k^2 - 8m^2}{(1 + 2k^2)^2} \end{aligned} ] 所以， [ |AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \frac{\sqrt{40 + 80k^2 - 8m^2}}{1 + 2k^2} = \frac{\sqrt{(1 + k^2)(40 + 80k^2 - 8m^2)}}{1 + 2k^2} ] 已知 ( |AB| = \frac{4\sqrt{2}}{3} )，所以： [ \frac{\sqrt{(1 + k^2)(40 + 80k^2 - 8m^2)}}{1 + 2k^2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} ] 两边平方： [ \frac{(1 + k^2)(40 + 80k^2 - 8m^2)}{(1 + 2k^2)^2} = \frac{32}{9} ] 整理得： [ 9(1 + k^2)(40 + 80k^2 - 8m^2) = 32(1 + 2k^2)^2 ] 这是一个关于 ( k ) 和 ( m ) 的方程。为了简化，我们可以考虑直线过定点或利用对称性。注意到椭圆关于原点对称，且弦长固定，直线可能过原点或与坐标轴平行。

尝试特殊情况： 若直线过原点，设 ( l: y = kx )，则 ( m = 0 )。 代入方程： [ 9(1 + k^2)(40 + 80k^2) = 32(1 + 2k^2)^2 ] 令 ( t = k^2 \geq 0 )： [ 9(1 + t)(40 + 80t) = 32(1 + 2t)^2 ] [ 9(40 + 80t + 40t + 80t^2) = 32(1 + 4t + 4t^2) ] [ 9(40 + 120t + 80t^2) = 32 + 128t + 128t^2 ] [ 360 + 1080t + 720t^2 = 32 + 128t + 128t^2 ] [ 592 + 952t + 592t^2 = 0 ] [ 74 + 119t + 74t^2 = 0 ] 判别式 ( \Delta = 119^2 - 4 \times 74 \times 74 = 14161 - 21904 = -7743 < 0 )，无实数解。所以直线不过原点。

考虑直线与坐标轴平行： 若直线 ( l ) 平行于 ( x ) 轴，即 ( k = 0 )，则 ( l: y = m )。 代入椭圆方程：( \frac{x^2}{10} + \frac{m^2}{5} = 1 )，解得 ( x = \pm \sqrt{10 - 2m^2} )。 弦长 ( |AB| = 2\sqrt{10 - 2m^2} = \frac{4\sqrt{2}}{3} )。 解得 ( \sqrt{10 - 2m^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} )，平方得 ( 10 - 2m^2 = \frac{8}{9} )，即 ( 2m^2 = 10 - \frac{8}{9} = \frac{82}{9} )，( m^2 = \frac{41}{9} )。 所以 ( m = \pm \frac{\sqrt{41}}{3} )。 此时直线方程为 ( y = \frac{\sqrt{41}}{3} ) 或 ( y = -\frac{\sqrt{41}}{3} )。

若直线 ( l ) 平行于 ( y ) 轴，即斜率不存在，设 ( l: x = c )。 代入椭圆方程：( \frac{c^2}{10} + \frac{y^2}{5} = 1 )，解得 ( y = \pm \sqrt{5 - \frac{c^2}{2}} )。 弦长 ( |AB| = 2\sqrt{5 - \frac{c^2}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3} )。 解得 ( \sqrt{5 - \frac{c^2}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} )，平方得 ( 5 - \frac{c^2}{2} = \frac{8}{9} )，即 ( \frac{c^2}{2} = 5 - \frac{8}{9} = \frac{37}{9} )，( c^2 = \frac{74}{9} )。 所以 ( c = \pm \frac{\sqrt{74}}{3} )。 此时直线方程为 ( x = \frac{\sqrt{74}}{3} ) 或 ( x = -\frac{\sqrt{74}}{3} )。

验证：将 ( k = 0, m = \pm \frac{\sqrt{41}}{3} ) 代入一般方程验证，应满足条件。同理验证 ( k ) 不存在的情况。 因此，直线 ( l ) 的方程为 ( y = \frac{\sqrt{41}}{3} )、( y = -\frac{\sqrt{41}}{3} )、( x = \frac{\sqrt{74}}{3} ) 或 ( x = -\frac{\sqrt{74}}{3} )。

总结：此题计算量大，需要耐心和细心。在考试中，如果直接求解一般方程过于复杂，可以尝试特殊位置（如平行于坐标轴）来寻找答案，这体现了数学思维的灵活性。

四、 备考策略

基于对2015年吉林高考数学卷的分析，结合高考数学的普遍规律，提出以下备考策略：

1. 夯实基础，构建知识网络

  • 回归教材：高考题源于教材，高于教材。务必吃透教材中的定义、定理、公式和例题，理解其来龙去脉。
  • 梳理知识体系：将高中数学知识分为函数、导数、三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计、选考模块等，构建清晰的知识网络图，明确各知识点之间的联系。
  • 掌握基本题型：对每类题型（如函数单调性证明、数列求和、立体几何证明与计算、解析几何弦长问题等）的常规解法要烂熟于心。

2. 强化计算，提升准确率

  • 日常训练：在平时的练习中，要注重计算过程的完整性和准确性，避免因粗心失分。可以专门进行计算训练，如复杂的代数式化简、解方程、求导、积分等。
  • 规范书写：解答题要步骤清晰、逻辑严谨、书写工整。每一步都要有依据，避免跳步。
  • 检查习惯：养成检查的习惯，尤其是选择题和填空题，可以通过代入验证、特殊值检验等方法快速检查。

3. 突破重点，攻克难点

  • 函数与导数：这是高考的压轴题常客。要系统掌握导数的几何意义、单调性、极值、最值、不等式证明等。多做综合性题目，训练分类讨论、构造函数、数形结合等思想。
  • 解析几何：重点掌握直线与圆锥曲线的位置关系，熟练运用韦达定理、弦长公式、面积公式等。注意计算技巧，如设而不求、整体代换等。
  • 立体几何：熟练掌握几何法和向量法。向量法虽然计算量大，但思路清晰，是解决空间角和距离问题的利器。平时要多画图，培养空间想象能力。
  • 数列：掌握等差、等比数列的基本性质，以及常见的求和方法（如裂项相消、错位相减、分组求和等）。注意数列与函数、不等式的综合。

4. 注重数学思想方法的培养

高考数学不仅考查知识，更考查数学思想方法。常见的数学思想方法有：

  • 函数与方程思想：用函数的观点分析问题，用方程的方法解决问题。
  • 数形结合思想：将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使问题化繁为简。
  • 分类讨论思想：当问题涉及多种情况时，需要分类讨论，如含参函数的单调性、不等式的解法等。
  • 化归与转化思想：将复杂问题转化为熟悉的问题，如将空间问题转化为平面问题，将立体几何问题转化为向量问题等。

5. 制定科学的复习计划

  • 分阶段复习：
    • 第一轮复习（约9月-次年2月）：全面复习，夯实基础，不留死角。
    • 第二轮复习（约3月-4月）：专题突破，强化重点，提升综合能力。
    • 第三轮复习（约5月-6月）：模拟训练，查漏补缺，调整状态。
  • 定期总结：每周或每月对所学内容进行总结，整理错题本，分析错误原因，避免重复犯错。
  • 模拟考试：定期进行模拟考试，严格按照高考时间进行，训练时间分配和应试技巧。

6. 心态调整与应试技巧

  • 保持良好心态：高考是知识、能力和心态的综合较量。平时要保持自信，遇到难题不慌张，相信自己的努力。
  • 合理分配时间：考试时，先易后难，确保会做的题不失分。选择题和填空题尽量控制在40分钟内完成，为解答题留出充足时间。
  • 审题要仔细：很多错误源于审题不清。要逐字逐句阅读题目，抓住关键词和隐含条件。
  • 书写要规范：解答题步骤要完整，逻辑要清晰，字迹要工整，避免因书写问题失分。

结语

2015年吉林高考数学卷是一份具有代表性的试卷，它体现了高考数学对基础知识、计算能力、思维能力和数学思想方法的综合考查。通过对其难度的深入分析和典型题目的详细解析，我们可以清晰地看到高考数学的命题趋势和考查重点。对于备考者而言，只有夯实基础、强化计算、突破重点、注重思想方法，并制定科学的复习计划，才能在高考中取得理想的成绩。希望本文的分析和策略能为您的备考之路提供有益的参考。