揭秘13年高考全国卷数学：难题解析与备考攻略

引言

高考作为我国教育体系中的重要一环，每年都吸引着无数考生和家长的关注。数学作为高考的主要科目之一，其难度和深度往往成为考生备考的难点。本文将深入解析2013年全国高考数学卷中的难题，并为您提供相应的备考攻略。

一、2013年高考全国卷数学难题解析

1. 难题一：圆锥曲线问题

题目描述：已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1(-c, 0)\)、\(F_2(c, 0)\)，点 \(P\) 在椭圆上，且 \(PF_1 + PF_2 = 2a\)。若直线 \(PF_1\) 的斜率为 \(k\)，求直线 \(PF_2\) 的斜率。

解题思路：

利用椭圆的定义，求出 \(c\) 的值。
根据斜率的定义，建立直线 \(PF_1\) 和 \(PF_2\) 的斜率之间的关系。
利用三角函数的关系，求出直线 \(PF_2\) 的斜率。

解题步骤：

由椭圆的定义可得 \(c^2 = a^2 - b^2\)。
设直线 \(PF_1\) 的斜率为 \(k\)，则直线 \(PF_1\) 的方程为 \(y = k(x + c)\)。
将直线 \(PF_1\) 的方程代入椭圆方程，解得 \(x\) 的值。
利用三角函数的关系，求出直线 \(PF_2\) 的斜率。

答案：直线 \(PF_2\) 的斜率为 \(\frac{b^2 - c^2}{a^2 - c^2}k\)。

2. 难题二：数列问题

题目描述：已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n}\)（\(n \in \mathbb{N}^*\)），求 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)。

解题思路：

利用数列的递推关系，求出 \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\) 的表达式。
利用极限的定义，求出 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)。

解题步骤：

由数列的递推关系可得 \(\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{a_n}{a_n + \frac{1}{a_n}}\)。
利用极限的定义，求出 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)。

答案：\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)。

二、备考攻略

1. 基础知识储备

在备考过程中，首先要对数学基础知识进行充分的复习和巩固。包括但不限于：

函数、数列、极限、导数、积分等基本概念。
平面几何、立体几何、解析几何等基本知识。
解析几何中的圆锥曲线、双曲线、抛物线等知识点。

2. 深入研究历年真题

通过对历年真题的研究，可以了解高考数学的命题规律和难点。具体方法如下：

分析历年真题的题型、难度和分值分布。
总结常见题型和解题方法。
模拟考试，检验自己的备考效果。

3. 提高解题技巧

在备考过程中，要注重提高解题技巧，包括但不限于：

熟练掌握各种数学公式和定理。
学会运用数学思想和方法解决问题。
培养良好的逻辑思维能力和空间想象力。

4. 保持良好的心态

在备考过程中，要保持良好的心态，避免过度紧张和焦虑。以下是一些建议：

合理安排学习时间，保证充足的休息和睡眠。
保持积极乐观的心态，相信自己能够取得好成绩。
遇到困难时，要学会调整心态，寻求帮助。