引言
南京中考数学一直是考生和家长关注的焦点，其中不乏一些极具挑战性的难题。本文将深入解析2017年南京中考数学中的一道难题，旨在帮助考生了解中考数学的难度和题型，为未来的学习提供有益的参考。
难题回顾
2017年南京中考数学试卷中，一道备受瞩目的难题如下：
题目：已知函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)，若存在实数\(a\)和\(b\)，使得\(f(a)=f(b)\)，且\(a+b=2017\)，求\(a^2+b^2\)的值。
解题思路
第一步：理解题意
题目要求我们找到两个实数\(a\)和\(b\)，它们满足以下条件：
- \(f(a)=f(b)\)
- \(a+b=2017\)
我们的目标是求出\(a^2+b^2\)的值。
第二步：寻找解题方法
由于题目涉及到函数\(f(x)\)，我们可以考虑利用函数的性质来解题。具体来说，我们可以尝试以下方法：
- 分析函数\(f(x)\)的性质，寻找合适的解题策略。
- 利用\(a+b=2017\)这一条件，将问题转化为关于\(a\)和\(b\)的方程。
第三步：具体解题步骤
1. 分析函数\(f(x)\)的性质
首先，我们对函数\(f(x)=x^3-3x^2+4x+6\)进行求导，得到：
\[f'(x)=3x^2-6x+4\]
令\(f'(x)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。因此，函数\(f(x)\)在\(x=1\)和\(x=\frac{2}{3}\)处取得极值。
2. 利用\(a+b=2017\)条件
由于\(a+b=2017\)，我们可以将问题转化为寻找两个实数\(a\)和\(b\)，它们分别满足以下条件：
- \(f(a)=f(b)\)
- \(a+b=2017\)
3. 求解\(a^2+b^2\)
由于\(a+b=2017\)，我们有：
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=2017^2\]
因此，我们只需要求出\(2ab\)的值，就可以计算出\(a^2+b^2\)。
4. 计算\(2ab\)
由于\(f(a)=f(b)\)，我们有：
\[a^3-3a^2+4a+6=b^3-3b^2+4b+6\]
化简得：
\[(a-b)(a^2+ab+b^2-3a-3b-4)=0\]
由于\(a\neq b\)，我们只需考虑\(a^2+ab+b^2-3a-3b-4=0\)。
将\(a+b=2017\)代入上式，得：
\[a^2+ab+b^2-3\times2017-4=0\]
因此，\(2ab=3\times2017+4\)。
5. 计算\(a^2+b^2\)
由于\(a+b=2017\)，我们有：
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=2017^2\]
代入\(2ab\)的值，得：
\[a^2+b^2=2017^2-2\times(3\times2017+4)\]
化简得：
\[a^2+b^2=4068289\]
总结
通过以上步骤，我们成功求解了2017年南京中考数学的一道难题。这道题目考察了函数的性质、方程的求解以及代数式的化简等知识点。在备考过程中，我们要注重基础知识的学习，提高解题技巧，以便在未来的挑战中游刃有余。