引言
高考数学作为衡量学生数学能力的重要手段，历来备受关注。2019年高考数学理科全国II卷中，部分题目难度较高，对学生的数学思维和解题技巧提出了挑战。本文将针对这些难题进行解析，并提供相应的备考策略。
一、难题解析
1. 题目一：解析几何问题
题目描述：已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（\(a > b > 0\)）的左、右焦点分别为\(F_1\)、\(F_2\)，点\(P\)在椭圆上，且\(\angle F_1PF_2 = 60^\circ\)，\(|PF_1| = m\)，\(|PF_2| = n\)，求椭圆的离心率。
解题思路：
- 利用椭圆的定义，得到\(|PF_1| + |PF_2| = 2a\)，即\(m + n = 2a\)。
- 利用余弦定理，得到\(|F_1F_2|^2 = m^2 + n^2 - 2mn\cos 60^\circ\)。
- 利用椭圆的离心率公式\(e = \frac{c}{a}\)，其中\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)，求解离心率。
解题步骤：
- 由\(m + n = 2a\)，得到\(n = 2a - m\)。
- 将\(n\)代入余弦定理，得到\(|F_1F_2|^2 = m^2 + (2a - m)^2 - 2m(2a - m)\cos 60^\circ\)。
- 将\(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)代入离心率公式，得到\(e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}\)。
2. 题目二：数列问题
题目描述：已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 1}\)，求\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)。
解题思路：
- 利用数列的递推关系，求出数列的前几项。
- 利用夹逼准则，证明数列\(\{a_n\}\)单调递增且有界。
- 利用数列的极限公式，求出\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)。
解题步骤：
- 求出数列的前几项：\(a_1 = 1\)，\(a_2 = \sqrt{2 \cdot 1 + 1} = \sqrt{3}\)，\(a_3 = \sqrt{2 \cdot \sqrt{3} + 1}\)。
- 证明数列\(\{a_n\}\)单调递增且有界：由\(a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 1}\)，得到\(a_{n+1}^2 = 2a_n + 1\)，即\(a_{n+1}^2 - a_n^2 = 1\)。因此，\(a_{n+1}^2 - a_1^2 = (a_{n+1} - a_1)(a_{n+1} + a_1) = 1\)。由于\(a_1 = 1\)，得到\(a_{n+1} + a_1 = 1\)，即\(a_{n+1} = 1 - a_1 = 0\)。因此，数列\(\{a_n\}\)单调递增且有界。
- 求出\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}\)：由单调有界原理，得到\(\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = L\)。因此，\(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{L}{L} = 1\)。
二、备考策略
1. 理论知识扎实
- 系统地复习高中数学基础知识，包括代数、几何、三角、数列等。
- 深入理解各个知识点的概念、性质和定理，形成完整的知识体系。
2. 培养解题技巧
- 多做练习题，总结解题方法和规律。
- 学会分类讨论，提高解题的灵活性。
- 注重逻辑推理，提高解题的准确性。
3. 提高数学思维能力
- 培养抽象思维、空间想象力和逻辑推理能力。
- 学会从不同角度思考问题，提高解题的创造性。
- 多阅读数学著作，拓展数学视野。
4. 调整心态，保持自信
- 保持积极的心态，相信自己能够取得好成绩。
- 合理安排学习时间，避免过度紧张和焦虑。
- 遇到困难时，勇于请教老师和同学，共同进步。
总之，备考高考数学需要扎实的基础知识、熟练的解题技巧、良好的数学思维能力和积极的心态。希望本文的解析和备考策略对考生有所帮助。