引言
1995年，厦门中考数学试卷中出现了一道颇具挑战性的题目，这道题目不仅考验了学生的数学知识，更考验了他们的逻辑思维和创新能力。时至今日，这道题目依然被许多数学爱好者津津乐道。本文将带您回顾这道经典难题，并分析其背后的数学原理。
难题回顾
1995年厦门中考数学试卷中的一道题目如下：
题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足以下条件：
- a1 = 1
- an = 2an-1 + 1（n ≥ 2）
求证：对于任意的n ≥ 2，都有Sn = 2^n - 1。
解题思路
要证明这个数列的前n项和Sn满足Sn = 2^n - 1，我们可以采用数学归纳法。
基础步骤
首先，我们需要证明当n = 2时，等式成立。
由题意可知，a1 = 1，a2 = 2a1 + 1 = 3。
因此，S2 = a1 + a2 = 1 + 3 = 4。
而2^2 - 1 = 4。
所以，当n = 2时，等式成立。
归纳步骤
假设当n = k（k ≥ 2）时，等式成立，即Sk = 2^k - 1。
我们需要证明当n = k + 1时，等式也成立。
根据题意，an = 2an-1 + 1，我们可以得到：
ak+1 = 2ak + 1
因此，Sk+1 = Sk + ak+1
代入归纳假设，得：
Sk+1 = (2^k - 1) + (2ak + 1)
化简得：
Sk+1 = 2^k + 2ak
由于an = 2an-1 + 1，我们可以得到：
ak = 2ak-1 + 1
将ak代入上式，得：
Sk+1 = 2^k + 2(2ak-1 + 1)
化简得：
Sk+1 = 2^k + 2^k + 2
Sk+1 = 2 * 2^k + 2
Sk+1 = 2^(k+1) + 2
Sk+1 = 2^(k+1) - 1
因此，当n = k + 1时，等式也成立。
结论
通过数学归纳法，我们证明了对于任意的n ≥ 2，都有Sn = 2^n - 1。
经验总结
这道题目不仅考察了学生的数学知识，还考验了他们的逻辑思维和创新能力。在解题过程中，我们需要熟练掌握数列、归纳法等数学知识，并运用这些知识解决实际问题。
回首那些年我们一起挑战的数学之旅，这道题目无疑是一道经典之作。它让我们明白了数学的魅力，也让我们更加坚定了追求知识的信念。